数列解答题专项训练.pdf
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1、数列专题解答题 1.【A】已知数列中,数列满足 (1) 求证:数列是等差数列; (2) 求数列中的最大值和最小值,并说明理由 解:(1),而, ,;故数列是首项为,公差为 1 的等差 数列; (2)由( 1)得,则;设函数,函数 在和上均为减函数,当时,; 当时, ;且,当趋向于时,接近 1, 1.【B】已知数列 an满足 a1=4,an=4(n2) ,令 bn=, (1)求证数列 bn 是等差数列; (2)求数列 an 的通项公式 (1)【证明】an+12=2(n 故(n1) 即 bn+1bn=(n1) 数列 bn是等差 数列 (2)【解】 是等差数列an=2+ 数列 an 的通项公式 an
2、=2+ n a 5 3 1 a),2( 1 2 1 Nnn a a n n n b )( 1 1 Nn a b n n n b n a 1 1) 1 2( 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a b 1 1 1 1 n n a b ), 2(1 1 Nnnbb nn 2 5 1 1 1 1 a b n b 2 5 2 7 nbn 72 2 1 1 1 nb a n n 72 2 1)( x xf 72 2 1)( x xf) 2 7 ,(), 2 7 (3x 1)3()(fxf 4x 3)4()(fxf 5 3 ) 1(fn)(xf1)( 3min aan 3)( 4max
3、 aan 1 4 n a2 1 n a n n n a a a )2(24 2 1 2 1 )2(22 1 1nn n n aa a a 2 1 2 1 2 1 1nn aa 2 1 2 1 n a22 1 )1( 2 1 2 1 1 n n aann 2 n 2 2.【A】 已知等比数列分别是某等差数列的第5 项、第 3 项、第 2 项,且 ()求; ()设,求数列 解析: (I)依题意 (II) 2.【B】已知数列 an的前 n 项和是 Sn=32nn 2,求数列 a n的前 n 项和 Sn 解: a1=S1=32 11 2=31, 当 n2 时,an=SnSn1=332n,又由 an0,
4、得 n165,即an前 16项为正, 432 ,aaaan中 1,64 1 qa公比 n a nn ab 2 log.| nn Tnb项和的前 032),( 3 2244342 aaaaaaa即 032 1 3 1 3 1 qaqaqa 2 1 10132 2 qqqq或 2 1 1qq 1 ) 2 1 (64 n n a故 nb nn n 72log) 2 1 (64log 7 2 1 2 77 77 | nn nn bn n nnn Tbn n )13( 2 )76( ,6| ,7 1 时当 2 )7)(6( 21 2 )7)(71( , 1| ,7 78 nnnn TTbn n 时当 )
5、7(21 2 )7)(6( )7( 2 )13( n nn n nn Tn 以后皆负 当 n16 时,Sn= a1+a2+ an=a1+a2+ an=33nn2 当 n16时,Sn= a1+a2+ a16a17a18an=S16(SnS16)2S16Sn512 32nn 2 3.【A】设数列的前项和为已知 (I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式 ,及前 n T 解: (I)由及,有 由, 则当时,有 得 又,是首项,公比为的等比数列 (II)由( I)可得, 数列是首项为,公差为的等比数列 , 3.【B】在数列中, (1)设证明是等差数列 ;(2)求数列的前项和。 解: (1)
6、由已知得, 又是首项为 1,公差为 1 的等差数列; 2 2 32 (16) 51232 (16) n nnn S nnn n a n , n S 1 1,a 1 42 nn Sa 1 2 nnn baa n b n a 1 1,a 1 42 nn Sa 121 42,aaa 21121 325,23aabaa 1 42 nn Sa 2n 1 42 nn Sa 1111 44,22(2) nnnnnnn aaaaaaa 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 1 3b 1 1 23 2 n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 2 n n a1 2 3 4 1331
7、 (1) 22444 n n a nn 2 (31) 2 n n an n a n nn aaa22, 1 11 , 2 1n n n a b n b n an n S n nn aa22 1 11 22 22 2 1 1 1n n n n n n n n n b aaa b 1 11 ab n b (2)由( 1)知 两式相减得 4.【A】已知数列 n a是递增的等比数列,且 1423 9,8.aaa a ()求数列 n a的通项公式; ()设 n S 为数列 n a的前 n 项和, 1 1 n n nn a b S S ,求数列 n b的前 n 项和 n T . 【解析】 ()由题设可知8
8、 3241 aaaa, 又9 41 aa, 可解的 8 1 4 1 a a 或 1 8 4 1 a a (舍去) 由 3 14 qaa得公比2q, 故 11 1 2 nn n qaa. ()12 21 21 1 )1 ( 1n nn n q qa S 又 11 111 11 nnn n nnnnnn aSS b S SS SSS 所以 nn bbbT. 21 11 13221 11 11 . 1111 n nn SS SSSSSS 12 1 1 1n . 4.【B】已知等差数列满足:,的前 n 项和为 ()求及; 1 1 2, 2 n nn n nan a 12 223221 n n nS n
9、 n nS2232222 32 nn n nS222221 132 12) 1( n n nS n a 3 7a 57 26aa n a n S n a n S ()令 bn=(nN*),求数列的前 n 项和 解:设等差数列的公差为 d,因为,所以有 ,解得, 所以;=。 () 由 ()知, 所以 bn=, 所以=, 即数列的前 n 项和=。 5.【A】已知数列 n a是首项为正数的等差数列,数列 1 1 nn aa 的前 n 项和为 21 n n . (I)求数列 n a的通项公式; (II)设12 n a nn ba,求数列 n b的前 n项和 n T . 【解析】 (I)设数列 n a的
10、公差为 d , 令1,n得 12 11 3a a ,所以 12 3a a. 令2,n得 1223 112 5a aa a ,所以 23 15a a. 解得 1 1,2ad,所以21. n an (II)由( I)知 24 224 , nn n bnn所以 12 1 42 44 , n n Tn 所以 231 41 42 4(1) 44, nn n Tnn 2 1 1 n a n b n T n a 3 7a 57 26aa 1 1 27 21026 ad ad 1 3,2ad 321)=2n+1 n an( n S n(n-1) 3n+2 2 2 n +2n 2n+1 n a 2 1 1 n
11、a 2 1 = 2n+1)1( 11 4 n(n+1) 111 (-) 4nn+1 n T 111111 (1-+-) 4223n n+1 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) n b n T n 4(n+1) 两式相减,得 121 34444 nn n Tn 11 4(1 4 )1 34 44, 1 433 n nn n n 所以 1 13144(31) 4 4. 999 n n n nn T 5.【B】已知数列 n a和 n b满足, * 111 2,1,2(nN ), nn abaa * 1231 111 1(nN ) 23 nn bbbbb n . (1)求 n a 与 n b
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