江苏专用2020年高考数学一轮复习考点22正弦定理和余弦定理的应用必刷题含解析.pdf
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1、考点 22 正弦定理和余弦定理的应用考点 22 正弦定理和余弦定理的应用 1 (江苏省苏锡常镇 2018 届高三 3 月教学情况调研一)设三角形的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知,则_ 【答案】 【解析】 因为,所以 2 (江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试)在中,已知, 则的最小值是_ 【答案】 【解析】分 已知,可得,将角 A,B,C 的余弦定理代入得 ,由,当 a=b 时取到等号,故 cosC 的最小值为. 3 (江苏省启东中学第一次月考数学试题)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为, ,a b c,且满足 22 baac,则 11 tant
2、anAB 的取值范围为_. 【答案】 2 3 1 3 , 【解析】 22 baac, 2222 2cosbaacacacB, 2 coscaBa, 由正弦定理得sin2sin cossinCABA, 又sinsinsin coscos sinCABABAB, sincos sinsin cossinAABABBA, ABC是锐角三角形, ABA, 2 ,3BA CA, 0 2 02 2 03 2 A A A ,解得 64 A , 2 32 A ,即 32 B sin11coscossin coscos sin tantansinsinsin sinsin sin BAABBABA ABABAB
3、AB sin1 sin sinsin A ABB 又 3 sin1 2 B, 2 3 1sin 3 B故 11 tantanAB 的取值范围为 2 3 1, 3 答案: 2 3 1, 3 4 (江苏省苏北六市 2018 届高三第二次调研测试)在ABC 中,已知 AB1,AC2,B45,则 BC 的 长为_ 【答案】 26 2 【解析】 222 cos 2 ABBCAC B AB BC 即 2 212 22 BC BC 化简得: 2 210BCBC 解得 26 2 BC 5 (江苏省南通、徐州、扬州等六市 2018 届高三第二次调研二模)在ABC中,已知 1245ABACB,则BC的长为_ 【答
4、案】 26 2 【解析】由题意得1c , 2b . 根据余弦定理得 2222 1 22 cos 222 acba B aca 2 210aa 0a 26 2 a ,即 26 2 BC . 故答案为 26 2 . 6(江苏省南通市 2019 届高三年级阶段性学情联合调研) 某海警基地码头 的正西方向海里处有海礁界碑 ,过点 且与成角(即北偏东)的直线 为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头 的正西方向且距离 点海里的领海海面 处有一艘可疑船停留,基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向 后,海警巡逻艇从 处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的 倍前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在 拦截过程中均
5、未改变航向航速,将在点 处截获可疑船。 (1)若可疑船的航速为海里 小时,且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,求巡逻艇成功拦截 可疑船所用的时间。 (2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船,求 的最小值。 【答案】 (1)小时;(2)。 (1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 2 倍, 可疑船的航速为海里/小时, 所以巡逻艇的航速为海里/ 小时,且,设,则, 又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,所以, 在中,有, 即,故,解得(负值舍去) 所以小时。 (2)以 为坐标原点,的方向为 轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则, 设, 因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的 倍,所以, 故,即
6、 故可疑船被截获的轨迹是以为圆心,以为半径的圆, 又直线 的方程为,即, 要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船,则: 圆心在直线下方,且 的轨迹与直线 至多只有一个公共点, 所以且 即,解得, 故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船,则. 7 (江苏省南京市 2019 届高三上学期综合模拟)某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园. 为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形作为绿化区域,其余作为 市民活动区域.其中区域种植花木后出售,区域种植草皮后出售, 已知草皮每平方米售价为 元, 花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若 km , km
7、 (1)若 km ,求绿化区域的面积; (2)设,当 取何值时,园林公司的总销售金额最大. 【答案】 (1)绿化区域的面积为 ;(2)当时,园林公司的销售金额最大,最大为百 万元. 【解析】 (1)在中, 由余弦定理得, 因为, 所以, 又因为 、 、 、 共圆,所以. 在中,由余弦定理得, 将,代入化简得, 解得(舍去). 所以 即绿化空间的面积为 (2)在、中分别利用余弦定理得 联立消去得,得 ,解得(舍去). 因为,所以,即. 因为草皮每平方米售价为 元,则花木每平方米售价为元,设销售金额为 百万元. 令,解得,又,不妨设, 则函数在上为增函数; 令,解得,则函数在上为减函数, 所以当时
8、,. 答:(1)绿化区域的面积为 ;(2)当时,园林公司的销售金额最大,最大为百万元. 8 (江苏省苏州市 2018 届高三调研测试)如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨 公路相连,B,C之间的距离为 100km,海岛A在城市B的正东方 50处从海岛A到城市C,先乘船按北 偏西角(,其中锐角 的正切值为 )航行到海岸公路P处登陆,再换乘汽车到城市C已知船 速为 25km/h,车速为 75km/h. (1)试建立由A经P到C所用时间与 的函数解析式; (2)试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由 【答案】 (1),定义域为(2)17.68 【解析】 试题分析:(1
9、)由轮船航行的方位角为 ,可得,由直角三角形的性质及三角函 数的定义可得,所以,则由 经 到 所用时间与 的 函数关系为,可得函数的定义域为,其中锐角 的正切值为 ;(2) 利用导数研究函数的单调性,可得在上递减,在上递增, () ,所以可得 时函数取得最小值,此时 17.68. 试题解析 : (1) 由题意, 轮船航行的方位角为, 所以, 则, 由A到P所用的时间为 ,由P到C所用的时间为,所以由A经P到C所用时间与的 函数关系为函数的定义域为,其中锐角 的正切 值为 . (2) 由 (1) , 令, 解得, 设0, 使 0 0 减函数极小值增函数 所以,当时函数f()取得最小值,此时BP=
10、17.68, 答:在BC上选择距离B为 17.68 处为登陆点,所用时间最少 9 (江苏省南通市 2018 年高考数学模拟)如图,在ABC中,为所对的边,CDAB于D, 且 (1)求证:; (2)若,求的值 【答案】 (1)见解析(2) 【解析】 (1)证明:因为, 所以, 由正弦定理,得, 所以 (2)解:由(1)得, 所以, 化简,得 又,所以,所以, 所以 10 (江苏省南京师大附中 2018 届高三高考考前模拟考试)如图,三个警亭有直道相通,已知 在 的 正北方向 6 千米处, 在 的正东方向千米处. (1)警员甲从 出发,沿行至点 处,此时,求的距离; (2)警员甲从 出发沿前往 ,
11、警员乙从 出发沿前往 ,两人同时出发,甲的速度为 3 千米/小时, 乙的速度为 6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 后原地等待,直到甲到达 时任务结束.若 对讲机的有效通话距离不超过 9 千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长? 【答案】 (1);(2) 【解析】分析:(1)在中,然后由正弦定理可得 BP, (2)甲从 C 到 A, 需要 4 小时, 乙从 A 到 B 需要 1 小时 设甲、 乙之间的距离为, 要保持通话则需要 当时,当时,分别求得对应的时长在求和即得到结论. 解:(1)在中, 由正弦定理, 即, 故的距离是 93千米 (2)甲从 C 到 A,需要 4 小时
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