三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题11平面向量理(含解析).pdf
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1、专题 11 平面向量专题 11 平面向量 1 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量a a,b b满足,且b b,则a a与 b b的夹角为| 2|ab()ab AB 6 3 CD 2 3 5 6 【答案】B 【解析】 因为b b, 所以=0, 所以, 所以=,()ab 2 () abba bb 2 a bbcos 2 2 |1 2|2 a bb abb 所以a a与b b的夹角为,故选 B 3 【名师点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为0, 2 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知=(
2、2,3),=(3,t),=1,则= AB AC BC AB BC A3B2 C2D3 【答案】C 【 解 析 】 由, 得, 则,(1,3)BCACABt 22 1(3)1BCt 3t (1,0)BC 故选 C(2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积,侧重基础知识和基本技能,难度不大 3 【2019 年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“” AB AC | |ABACBC 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】与的夹角为锐角,所以,即 AB AC 2222 |
3、2|2ABACAB ACABACAB AC ,因为,所以|+|; 22 |ABACACAB ACABBC AB AC BC 当|+|成立时,|+|2|-|20,又因为点A,B,C不共线, AB AC BC AB AC AB AC AB AC 所以与的夹角为锐角.故 “与的夹角为锐角” 是 “|+|” 的充分必要条件, AB AC AB AC AB AC BC 故选 C 【名师点睛】 本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学 思想. 4 【2018 年高考全国 I 卷理数】在中,为边上的中线,为的中点,则ABCADBCEAD EB AB 31 44 ABAC
4、 13 44 ABAC CD 31 44 ABAC 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则,可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC ,所以. 11131 24444 BABAACBAAC 31 44 EBABAC 故选 A. 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题,涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算. 5 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量,满足,则 a b|1a1 a b(2)aab A4B3 C2D0 【答案】B 【解析】因为所
5、以选 B. 22 222|12 13 aabaa ba, 【名师点睛】已知非零向量,: 11 ( ,)x ya 22 (,)xyb 几何表示坐标表示 模|a a|= a a 22 11 xya 夹角 cos a b ab 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 6 (2018 年高考浙江卷)已知a a,b b,e e是平面向量,e e是单位向量若非零向量a a与e e的夹角为,向量b b 3 满足b b24e eb b+3=0,则|a ab b|的最小值是 A1B+1 33 C2D23 【答案】A 【解析】设,则由得a = (x,y),e = (1,0),b = (m,n
6、)a,e = 3 a e = |a| |e|cos 3,x = 1 2 x2+ y2 ,, y = 3x 由b b24e eb b+3=0 得因此|a ab b|的最小值为圆心到直线m2+ n2- 4m + 3 = 0,(m - 2)2+ n2= 1,(2,0)y 的距离减去半径 1,为选 A.= 3x 2 3 = 3 2 3 - 1. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题,考查数形结合思想,考查考生的 选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7 【2018 年高考天津卷理数】如图,在平面四边形ABCD中,,120 ,ABBC
7、 ADCDBAD 若点E为边CD上的动点,则的最小值为1,ABADAE BE AB 21 16 3 2 CD 25 16 3 【答案】A 【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为 ABD,ABBC ADCDBCD 等边三角形,. 3BD 设 01DEtDCt AE BE 223 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt01t 所以当时,上式取最大值,故选 A. 1 4 t 21 16 【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用 基底表示,同时利用向量共线转化为函数求最值. 8
8、 【2018 年高考北京卷理数】设a a,b b均为单位向量,则“”是“a ab b”的 33abab A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】,因为a a,b b均2 2 2 222 699+63333 aababababa bbaa bb 为单位向量, 所以a ab b, 即 “” 是 “a ab b” 2222 699+6=0 aa bbaa bba b 33abab 的充分必要条件.故选 C. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法 1定义法 : 直接判断“若则” 、“若则”的真假并注意和图示相结合,例如“”为真,pqqppq
9、则是的充分条件pq 2等价法:利用与非非,与非非,与非非的等价关系,对于条pqqpqppqpqqp 件或结论是否定式的命题,一般运用等价法 3集合法:若,则是的充分条件或是的必要条件;若,则是的充要条件ABABBAABAB 9【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上.若,则的最大值为APABAD A3B22 CD25 【答案】A 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设,0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y 易得圆的半径,即圆C的方程是, 2 5 r 2 2 4 2 5 xy ,若满足,,1
10、,0, 1 ,2,0APx yABAD APABAD 则,所以, 2 1 x y ,1 2 x y 1 2 x y 设,即,点在圆上,1 2 x zy10 2 x yz ,P x y 2 2 4 2 5 xy 所以圆心到直线的距离,即,解得,(2 0),10 2 x yz dr 22 15 1 4 z 13z 所以的最大值是 3,即的最大值是 3,故选 Az 【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是 : 先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量 的形式,再通过向量的运算来解决
11、. 10 【2017 年高考全国 II 卷理数】已知是边长为 2 的等边三角形,为平面内一点,则ABCPABC 的最小值是()PAPBPC AB2 3 2 CD 4 3 1 【答案】B 【解析】如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,BCxBCDAyD 则, 设, 所 以,(0, 3)A( 1,0)B (1,0)C( , )P x y(, 3)PAxy ( 1,)PBxy ,所以,(1,)PCxy ( 2 , 2 )PBPCxy 22 ()22 ( 3)22(PAPBPCxyyxy ,当时,所求的最小值为,故选 B 2 333 ) 222 3 (0,) 2 P 3 2 【
12、名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路: “形化” ,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图 形的特征直接进行判断; “数化” ,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方 程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 11 【2017 年高考北京卷理数】设m m,n n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的mn0m n A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若,使,则两向量反向,夹角是,那么0mn ,m n 180cos180 m
13、nm n ;若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,0m n0m n90 ,180 使得,所以是充分而不必要条件,故选 A.mn 【名师点睛】 【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:(1)根据定义,若,那么,pq qpp 是的充分不必要条件,同时是的必要不充分条件;若,那么,互为充要条件;若qqppqpq , 那么就是既不充分也不必要条件.(2) 当命题是以集合形式给出时, 那就看包含关系,,pq qp 已知:,p xA ,若,那么是的充分不必要条件,同时是的必要不充分条件;若,那么:q xBAB pqqpAB ,互为充要条件;若没有包含关系,那么就是既不充分也不必要条件.(3
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