2020版导与练一轮复习文科数学课件:第二篇 函数及其应用(必修1) 第3节 函数的奇偶性与周期性 .ppt
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1、第3节 函数的奇偶性与周期性,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善 把散落的知识连起来,知识梳理,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: T0; f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,最小的正数,最小的正数,【重要结论】 1.(
2、1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).,2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).,4.函数图象对称性的三个结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的
3、图象关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,对点自测,1.(教材改编题)下列函数中为偶函数的是( ) (A)y=x2sin x (B)y=x2cos x (C)y=|ln x| (D)y=2-x,B,解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.,B,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是( ),答案:1,4.(2017
4、全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)= 2x3+x2,则f(2)= .,解析:因为x(-,0),f(x)=2x3+x2且为奇函数, 所以f(-2)=2(-8)+4=-12, 又因为f(-2)=-f(2)=-12, 所以f(2)=12.,答案:12,5.下列说法正确的是 . 函数y=x2在x(0,+)时是偶函数; 若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0; 若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期; 若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.,解析:由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+
5、)上不是偶函数,错; 由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,错; 由周期函数的定义,正确; 由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一 函数的奇偶性及其应用,答案:1,解:显然函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称, 因为当x0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x0时,-x0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立
6、, 所以函数f(x)为奇函数.,(1)判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: 定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; 判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系. (2)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.,反思归纳,【跟踪训练1】 (1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ),(2)(2018山西省六校第四次联考)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)等于( ) (A)
7、6 (B)-6 (C)4 (D)-4,解析:(2)因为f(x)为奇函数, 所以f(-2)=-f(2)=-(32-72+2b)=5-2b, 又奇函数f(x)在x=0有定义, 所以f(0)=30-70+2b=0, 所以2b=-1, 所以f(-2)=6.故选A.,考点二 函数的周期性及其应用 【例2】 (1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)等于( ) (A)-50 (B)0 (C)2 (D)50,解析:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(1-x)=-f(x
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