2020版数学人教A版必修5学案:第二章 专题突破三 Word版含解析.docx
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1、专题突破三数列通项公式的求法求数列的通项公式,是数列问题中的一类重要题型,在数列学习和考试中占有很重要的位置,本专题就来谈谈数列通项公式的求法一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式例1由数列的前几项,写出通项公式:(1)3,5,3,5,3,5,;(2),;(3)2,;(4),.解(1)这个数列前6项构成一个摆动数列,奇数项为3,偶数项为5.所以它的一个通项公式为an4(1)n,nN*.(2)数列中的项以分数形式出现,分子为项数,分母比分子大1,所以它的一个通项公式为an,nN*.(3)数列可化为11,2,3,4,5,所以它的一个通项公式为ann,nN*.(4)数列可化为,所以它的一个通项
2、公式为an,nN*.反思感悟这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到,故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列,再考察它与基本数列的关系需要注意的是,对于无穷数列,利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”,而且表达式不一定唯一跟踪训练1由数列的前几项,写出通项公式:(1)1,7,13,19,25,;(2),;(3)1,.解(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项,6为公差的等差数列,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5),nN*.(2)数列化为,分子,分母分别构成等差数列,所以
3、它的一个通项公式为an,nN*.(3)数列化为,所以数列的一个通项公式为an(1)n1,nN*.二、利用递推公式求通项公式命题角度1累加、累乘例2(1)数列an满足a11,对任意的nN*都有an1a1ann,求通项公式;(2)已知数列an满足a1,an1an,求an.解(1)an1ann1,an1ann1,即a2a12,a3a23,anan1n(n2)等式两边同时相加得ana1234n(n2),即ana1234n1234n,n2.又a11也适合上式,an,nN*.(2)由条件知,分别令n1,2,3,n1,代入上式得(n1)个等式,累乘,即(n2),又a1,an,n2.又a1也适合上式,an,n
4、N*.反思感悟形如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法,步骤如下:第一步将递推公式写成an1anf(n);第二步当n2时,依次写出anan1,a2a1,并将它们累加起来;第三步得到ana1的值,解出an;第四步检验a1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式累乘法类似跟踪训练2数列an中,a12,an1an2n,求an的通项公式解因为a12,an1an2n,所以a2a12,a3a222,a4a323,anan12n1,n2,以上各式累加得,ana1222232n1,故an22n,当n1时符合上式,所以an2n.命题角度2预设阶梯转化为等差(比)数列例3在数列a
5、n中,a12,an14an3n1,nN*.(1)证明:数列ann是等比数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明由an14an3n1,得an1(n1)4(ann),nN*.因为a1110,所以ann0,所以4,所以数列ann是首项为1,公比为4的等比数列(2)解由(1),可知ann4n1,nN*,于是数列an的通项公式为an4n1n,nN*.反思感悟课程标准对递推公式要求不高,故对递推公式的考查也比较简单,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故同学们不必在此处挖掘过深跟踪训练3(2018江苏泰州泰兴中学月考)在数列an中,a11,3anan1anan10(n2,nN
6、*)(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明由3anan1anan10(n2),整理得3(n2),所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列(2)解由(1)可得13(n1)3n2,所以an,nN*.命题角度3构造等差(比)数列例4已知数列an中,a11,an12an3,求an.解递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant),即an12ant,则t3.故递推公式为an132(an3)令bnan3,则b1a134,且2.所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列所以bn42n12n1,即an2n13(nN*)反思感悟形如an1panq(其中p,q为常数,且pq(p1)0
7、)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步假设递推公式可改写为an1tp(ant);第二步由待定系数法,解得t;第三步写出数列的通项公式;第四步写出数列an通项公式跟踪训练4已知数列an满足an12an35n,a16,求数列an的通项公式解设an15n12(an5n),将an12an35n代入式,得2an35n5n12an25n,等式两边消去2an,得35n5n125n,两边除以5n,得352,则1,代入式得an15n12(an5n)由a1516510及式得an5n0,则2,则数列an5n是以1为首项,2为公比的等比数列,则an5n2n1,故an2n15n(nN*)三、利用前n项和Sn与a
8、n 的关系求通项公式例5已知数列an的前n项和为Sn,若Sn2an4,nN*,则an等于()A2n1 B2n C2n1 D2n2答案A解析因为Sn2an4,所以n2时,Sn12an14,两式相减可得SnSn12an2an1,即an2an2an1,整理得an2an1,因为S1a12a14,即a14,所以2.所以数列an是首项为4,公比为2的等比数列,则an42n12n1,故选A.反思感悟已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤:第一步利用Sn满足条件p,写出当n2时,Sn1的表达式;第二步利用anSnSn1(n2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;第三步若求出n2时的an的通项公式,则
9、根据a1S1求出a1,并代入n2时的an的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式如果求出的是an的递推公式,则问题化归为例3形式的问题跟踪训练5在数列an中,a11,a12a23a3nanan1(nN*),求数列an的通项公式an.解由a12a23a3nanan1,得当n2时,a12a23a3(n1)an1an,两式作差得nanan1an,得(n1)an13nan(n2),即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列,且a11,a21,于是2a22,故当n2时,nan23n2.于是an1已知数列an满足a11,anan1(n2),则an .答案解析因为anan1(n2),所以
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