2019-2020学年高中数学北师大版必修1课件:2.5 简单的幂函数 .pptx
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1、5 简单的幂函数,一,二,一、幂函数的概念 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即y=x,这样的函数称为幂函数,如y=x3,y=x4,y=x-2等都是幂函数. 【做一做1】 下列函数中是幂函数的是( ) y=axm(a,m为非零常数,且a1);y= +x2;y=x9;y=(x-1)3. A. B. C. D.全不是 解析:由幂函数的定义知为幂函数,其他都不是,故选B. 答案:B,一,二,幂函数的几个重要性质 (1)所有幂函数的图像均经过(1,1)点; (2)所有幂函数的图像均不经过第四象限; (3)当0时,幂函数y=x在(0,+)上是增加的;当0时,y=x在(0,+)上是减少的.,一,二
2、,二、奇函数、偶函数的定义 1.一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数;图像关于y轴对称的函数叫作偶函数. 2.在奇函数f(x)中,f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0; 在偶函数f(x)中,f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0. 3.当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性.,一,二,【做一做2】 下列函数是偶函数的为( ) A.y=2|x|-1,x-1,2 B.y=x3-x2 C.y=x3 D.y=x2,x-1,0)(0,1 解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3
3、=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数. 答案:D,一,二,【做一做3】 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x2 C.y= D.y=x|x| 解析:对于A,非奇非偶;对于B,是偶函数;对于C,是奇函数,但不是增函数; 对于D,令f(x)=x|x|, f(-x)=-x|-x|=-f(x),函数是增函数,只有D满足. 答案:D,一,二,对函数奇偶性的几点理解 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质. (2)函数按照奇偶性可划分为四类:奇函数;偶函数;既是奇函数,又是
4、偶函数,例如函数 ,这个函数的定义域是1,-1,解析式可化简为f(x)=0,满足奇函数、偶函数的定义;既不是奇函数,也不是偶函数. (3)函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称.若其定义域不关于原点对称,则它一定是非奇非偶函数. (4)对于偶函数f(x),总有f(x)=f(-x)=f(|x|).,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)二次函数一定是幂函数. ( ) (2)奇函数的图像一定过原点. ( ) (3)偶函数的图像一定是轴对称图形. ( ) (4)既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,xR.( ) 答案:(1) (2) (3
5、) (4),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,幂函数及其简单应用,分析:先求幂函数的解析式,再求值、列表、描点画图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,1.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=x,根据条件求出. 2.画幂函数的图像时要注意先确定定义域,再者列表时要有代表性的取值,使得画出的图像更为准确.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,=-2.y=x-2. (2)的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此是幂函数;中x2的系数为2,因此不是幂函数;是由幂函数复合而成的函数,因此不是幂函数;不符合幂函
6、数中x前的系数为1,因此不是幂函数. 答案:(1)B (2),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,判断函数的奇偶性 【例2】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= ; (2)f(x)=x3-2x; (3)f(x)=x2+1. 分析:判断函数的奇偶性先要观察函数的定义域是否关于原点对称,再利用f(x)与f(-x)的关系进行判断.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(1)函数的定义域为(-,-1)(-1,+),不关于原点对称, 故函数f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. (2)函数的定义域为R. f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x), 函数f(x)
7、=x3-2x是奇函数. (3)函数的定义域为R. (方法一)f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), 函数f(x)=x2+1是偶函数. (方法二)画出y=x2+1的图像如图, 由图可知其图像关于y轴对称. 故函数f(x)=x2+1是偶函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,如何判断函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下: 求f(x)的定义域; 若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系. (2)对于一些较复杂的函数,也可
8、以用如下性质判断函数的奇偶性: 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; 奇函数的和、差仍为奇函数; 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2判断下列函数的奇偶性:,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,奇、偶函数图像的应用 【例3】 奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为 .,分析:奇函数的图像关于原点对称,据此可作出f(x)在-5,0)上的图像,然后找出图像位于x轴下方的部分即得x
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