2019-2020学年高中人教B版数学新教材必修第一册学案:第三章 3.1 3.1.2 函数的单调性 第1课时 Word版含解析.doc
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1、3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明(教师独具内容)课程标准:借助函数图像,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义教学重点:函数单调性的定义及其应用,函数单调性的证明教学难点:函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图,从图中你能发现什么?提示:从图像上可以看出04时气温下降,414时气温逐渐上升,1424时气温又逐渐下降学习了本节内容函数的单调性,可以使我们更好地认识图形,并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地,设函数yf(x)的定义域为D,且ID:(
2、1)如果对任意x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)(2)如果对任意x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)知识点二 函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是增函数或是减函数,就说这个函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)知识点三 函数的最大值和最小值一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0D:如果对任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果对
3、任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点【新知拓展】1当函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数时,不能说f(x)在AB上是增(减)函数,如f(x)在(,0)上是减函数,在(0,)上是减函数,不能说f(x)在定义域(,0)(0,)上是减函数,事实上,取x111x2,有f(1)11f(1),不符合减函数的定义2函数的单调性是函数在某个区间上的性质(1)这个区间可以是整个定义域例如,yx在整个定义域(,)上是增函数,yx在整个定义域(,)上是减函数(2)这个区间也可以是
4、定义域的真子集例如,yx2在定义域(,)上不具有单调性,但在(,0上是减函数,在0,)上是增函数(3)有的函数不具有单调性例如,函数y它的定义域为R,但不具有单调性;yx1,xZ,它的定义域不是区间,也不能说它在定义域上具有单调性3区间端点的写法对于单独的一点,因为它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点例如,yx2的单调递增区间是0,),也可以记为(0,),但函数y在(0,)上是减函数,就不能写成y在0,)上为减函数4对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值,
5、即存在一个自变量x0,使f(x0)等于最值,如f(x)x2(xR)的最大值为0,有f(0)0.(2)对于定义域内的任意元素x,都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),“任意”两字不可省(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标;最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性()(2)定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2(a,b),使得x1x2时,有f(x1)f(x2),那么函数f(x)在(a,b)上为增
6、函数()(3)若函数f(x)在区间A上为减函数,在区间B上也为减函数,则函数f(x)在区间AB上也为减函数()(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数,则有f(1)f(4)()(5)任何函数都有最大值或最小值()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)x的图像如图1所示,从左至右图像是上升的还是下降的:_.在区间_上,随着x的增大,f(x)的值_,在此区间上函数是增函数还是减函数:_.(2)已知函数f(x)2x1的图像如图2所示,从左至右图像是上升的还是下降的:_.在区间_上,随着x的增大,f(x)的值_,在此区间上函数是增函数还是减函数:_
7、.(3)函数yx2的单调递增区间为_,单调递减区间为_(4)函数f(x)x2在0,1上的最大值是_答案(1)上升的(,)增大增函数(2)下降的(,)减小减函数(3)(,00,)(4)1题型一 函数单调性的判断与证明例1用函数单调性的定义证明:(1)函数f(x)2x23x3在上是增函数;(2)函数f(x)在(3,)上是减函数证明(1)设x1,x2是上的任意两个实数,且x10,f(x2)f(x1)(2x3x23)(2x3x13)2x2x3x23x12(x1x2)(x1x2)3(x1x2)2(x1x2)3(x1x2)因为x1x2,所以x1x20,由x1,x2,得x1,x2,则x1x2,所以2(x1x
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