2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义:第1部分 第2章 2.3 2.3.2 双曲线的几何性质 Word版含解析.doc
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1、23.2双曲线的几何性质双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下:如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点问题1:双曲线的对称轴、对称中心是什么?提示:坐标轴;原点问题2:过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗?提示:有一个交点双曲线的几何性质 标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质焦点(c,0)(0,c)焦距2c范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点(a,0)(0,a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率e(1,)渐近线yxyx等轴双曲线观察
2、所给两个双曲线方程(1)1;(2)x2y29.问题1:两个双曲线方程有何共同特点?提示:所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题2:两个双曲线的离心率是多少?提示:.问题3:两双曲线的渐近线方程是什么?提示:渐近线方程yx.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率e反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线,渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用a,b表示时,受焦点所在坐标轴的影响双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量a,b,c即可得解,但要注
3、意焦点在哪条坐标轴上精解详析由9y24x236得1,a29,b24.c2a2b213.c.顶点坐标为(3,0),(3,0)焦点坐标为(,0),(,0),实轴长为2a6,虚轴长为2b4,离心率为e,渐近线方程为yx.一点通求解双曲线的几何性质问题时,首先将方程化为标准方程,分清焦点所在的轴,写出a与b的值,进而求出c,即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知00,b0)由题知2b12,且c2a2b2,b6,c10,a8.所求双曲线的标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时,由且a3,得b.所求双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时,由且a3,得b2.所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y
4、21有公共渐近线的双曲线方程为y2k,将点(2,2)代入,得k(2)22,双曲线的标准方程为1.一点通由双曲线的性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,其步骤为:(1)判断:利用条件判断焦点的位置;(2)设:设出双曲线的标准方程;(3)列:利用已知条件构造关于参数的方程;(4)求:解参数方程,进而得标准方程4(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率为,则C的方程是_解析:由题意可知c3,a2,b ,故双曲线的方程为1.答案:15已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程是_解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标
5、为(3,0),则焦点在x轴上,且a3,焦距与虚轴长之比为54,即cb54,解得c5,b4,则双曲线的标准方程是1.答案:16求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程解:若焦点在x轴上,则双曲线方程为1.M(3,4)在双曲线上,1.又b2a,94164a2,解得a25,b220,双曲线方程为1.若焦点在y轴上,则双曲线方程为1.M(3,4)在双曲线上,1,又b2a,16494a2,解得a2,b255,双曲线方程为1.综上可知,双曲线方程为1或1.求双曲线的离心率及其范围例3(1)设ABC是等腰三角形,ABC120,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为
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