2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档:第二编 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 Word版含解析.doc
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1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情研析1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质,特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆:|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|);(2)双曲线:|PF1|PF2|2a(2a0,b0)的渐近线方程为yx;焦点坐标F1(c,0),F2(c,0);双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,焦点坐标F1(0,c),F2(0,c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点坐标为,准线方程为x;抛物线x22py(p0)的焦点坐标为,准线方程为y.3弦
2、长问题(1)弦长公式设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y22px(p0)焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p.热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1(1)(2019永州市高三第三次模拟)过双曲线C:1(a0,b0)左焦点F的直线l与C交于M,N两点,且3,若OMFN,则C的离心率为()A2 B C3 D答案B解析设双曲线的右焦点为F,取MN的中点P,连接FP,FM,FN,如图所示,由3,可知|MF|MP|NP|
3、.又O为FF的中点,可知OMPF.OMFN,PFFN.PF为线段MN的垂直平分线|NF|MF|.设|MF|t,由双曲线定义可知|NF|3t2a,|MF|2at,则3t2a2at,解得t2a.在RtMFP中,|PF|2a,|OM|PF|a.在RtMFO中,|MF|2|OM|2|OF|2,4a23a2c2e.故选B(2)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为()Ay2xBy23xCy2xDy29x答案B解析如图,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线与x轴的交点为G,|BF|a,则由已知
4、得|BC|2a,由定义得|BD|a,故BCD30.在直角三角形ACE中,|AE|AF|3,|AC|33a,2|AE|AC|,33a6,从而得a1.BDFG,求得p,因此抛物线的方程为y23x.(3)已知F是椭圆E:1(ab0)的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|2|QF|,且PFQ120,则椭圆E的离心率为()A B C D答案C解析解法一:设F1是椭圆E的右焦点,如图,连接PF1,QF1.根据对称性,线段FF1与线段PQ在点O处互相平分,所以四边形PFQF1是平行四边形,|FQ|PF1|,FPF1180PFQ60,根据椭圆的定义,|PF|PF1|2a,又|PF|2|
5、QF|,所以|PF1|a,|PF|a,而|F1F|2c,在F1PF中,由余弦定理,得(2c)2222aacos60,得,所以椭圆E的离心率e.故选C解法二:设F1是椭圆E的右焦点,连接PF1,QF1.根据对称性,线段FF1与线段PQ在点O处互相平分,所以四边形PFQF1是平行四边形,|FQ|PF1|,FPF1180PFQ60,又|FP|2|PF1|,所以FPF1是直角三角形,FF1P90,不妨设|PF1|1,则|FP|2,|FF1|2c,根据椭圆的定义,2a|PF|PF1|123,所以椭圆E的离心率e.故选C 圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性
6、质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定(3)焦点三角形的作用:借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组,便于解决问题(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用,根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题,在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线,则要把另一个焦点也考虑进去 1(2019江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆,曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线,A是曲线C1与C2的交点,且AF2F1为钝角,若|AF1|,|AF
7、2|,则AF1F2的面积是()A B2 C D4答案C解析画出图形如图所示,ADF1D,根据抛物线的定义可知|AF2|AD|,故cosF1AD,也即cosAF1F2,在AF1F2中,由余弦定理得,解得|F1F2|2或|F1F2|3,由于AF2F1为钝角,故|AD|F1F2|,所以|F1F2|3舍去,故|F1F2|2.而sinAF1F2,所以SAF1F22.故选C2(2019宣城市高三第二次调研)已知F1,F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2PQ,且|PF2|PQ|,则椭圆的离心率为()A B1 C D2答案A解析PF2PQ且|
8、PF2|PQ|,可得PQF2为等腰直角三角形,设|PF2|t,则|QF2|t,由椭圆的定义可得|PF1|2at,2tt4a,则t2a,在直角三角形PF1F2中,可得t2(2at)24c2,4(64)a2(128)a24c2,化为c2(96)a2,可得e.故选A3P是双曲线C:y21右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|PQ|的最小值为()A1 B2C4 D21答案D解析如图所示,设双曲线右焦点为F2,则|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|,即当|PQ|PF2|最小时,|PF1|PQ|取最小值,由图知当F2,P,Q三点共线时|PQ|PF
9、2|取得最小值,即F2到直线l的距离d1,故所求最值为2a121.故选D考向2 圆锥曲线的几何性质例2(1)(2019宣城市高三第二次调研)已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限上的点,直线PO交双曲线C左支于点M,直线PF2交双曲线C右支于点N,若|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dy2x答案A解析由题意得,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a,|PF1|4a,|PF2|2a,由于P,M关于原点对称,F1,F2关于原点对称,线段PM,F1F2互相平分,四边形PF1MF2
10、为平行四边形,PF1MF2,MF2N60,F1PF260,由余弦定理可得4c216a24a224a2acos60,ca,ba.,双曲线C的渐近线方程为yx.故选A(2)已知F1,F2为双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P,PF1与双曲线相交于点Q,且|PQ|2|QF1|,则该双曲线的离心率为()A B2 C D答案A解析设|QF1|x,则|PF1|3x,|PQ|2x,由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a,|QF2|QF1|2a,所以|PF2|3x2a,|QF2|x2a,在RtQPF2中,|QP|2|PF2|2|QF2|2,即(2x)2(3x2a)
11、2(2ax)2,可得xa.在RtPF1F2中,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即(3x)2(3x2a)2(2c)2,整理可得c25a2,所以e.故选A 1椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得(2)用法:可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线的斜率k求离心率e,双曲线1(a0,
12、b0)渐近线的斜率k与离心率e之间满足关系式e21k2. 1设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,l在y轴上的截距为1,若|AF1|2|F1B|,且AF2x轴,则此椭圆的短轴的长为()A5 B2 C10 D答案B解析AF2x轴,l在y轴上的截距为1,A(c,2),又|AF1|2|F1B|,B(2c,1),则3,即b25,b,故选B2(2019毛坦厂中学高三联考)已知F是双曲线C:1(a0,b0)的左焦点,过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M,若|FM|2a,记该双曲线的离心率为e,则e2()A BC D答案A解析由题意得,F(c,
13、0),该双曲线的一条渐近线为yx,将xc代入yx得y,2a,即bc2a2,4a4b2c2c2(c2a2),e4e240,解得e2,故选A考向3 直线与圆锥曲线角度1弦中点、弦分点问题例3(1)已知椭圆E:1,直线l交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为,则l的方程为()A2x9y100 B2x9y100C2x9y100 D2x9y100答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1,两式作差并化简整理得,而x1x21,y1y22,所以,直线l的方程为y1,即2x9y100.经验证可知符合题意故选D(2)已知双曲线C:1(a0,b0),若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A,B两点,
14、且3,则双曲线C的离心率的最小值为_答案2解析因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A,B两点,且3,故点A在双曲线的左支上,B在双曲线的右支上,如图所示设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为3,所以cx13(cx2),即3x2x12c,由图可知,x1a,x2a,所以x1a,3x23a,故3x2x14a,即2c4a,故e2,所以双曲线C的离心率的最小值为2. (1)弦中点问题:在涉及圆锥曲线弦中点的问题中,基本的处理方法有两个:一是设出弦的端点坐标,使用“点差法”;二是设出弦所在的直线方程,利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程,根据根与系数的关系建立弦的端点坐
15、标与中点坐标间的关系后解决问题(2)弦分点问题:解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)求解 1已知双曲线C:1(a0,b0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为()A2 B C D答案B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中点为N(12,15),则x1x224,y1y230,由两式相减得,则,由直线AB的斜率k1,所以1,则,双曲线的离心率e ,所以双曲线C的离心率为.故选B2(2019汉中市重点中
16、学高三联考)已知抛物线C:y26x,直线l过点P(2,2),且与抛物线C交于M,N两点,若线段MN的中点恰好为点P,则直线l的斜率为()A B C D答案C解析设M(x1,y1),N(x2,y2)代入C:y26x,得得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)因为线段MN的中点恰好为点P,所以从而4(y1y2)6(x1x2),即l的斜率为.故选C角度2弦长问题例4(2019宜宾市高三第二次诊断)已知点M到定点F(4,0)的距离和它到直线l:x的距离的比是常数.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)若直线l:ykxm与圆x2y29相切,切点N在第四象限,直线与曲线C交于A,B两点,求证:FAB的周长为定
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