专题6.26: 两边夹问题的研究与拓展.doc
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1、 专题6.26: 两边夹问题的研究与拓展 【探究拓展】探究1:数列中,对,则= 3 变式:已知数列中,. (1)证明:;(2)求数列的通项公式探究2:设无穷数列满足:,.记.(1)若,求证:=2,并求的值;(2)若是公差为1的等差数列,问是否为等差数列,证明你的结论【解】(1)因为,所以若,则矛盾,若,可得矛盾,所以于是,从而(2)是公差为1的等差数列,证明如下: 时,所以, ,即,由题设,又,所以,即是等差数列另证:由,可得,下面我们来证明恒成立,采用反证法思想.假设,则,由数列的单调性可得与题设矛盾,所以假设不成立,故,则,即是等差数列最简单的方法:(2)一方面:由,且,可得恒成立;另一方
2、面:是公差为1的等差数列,则,从而,变形可得,综上:,是等差数列变式:已知各项均为正整数的数列满足对于任意的,成立.设数列与数列是公差均为的等差数列(1)若,求证:数列为等差数列;(2)若,试探究数列是否为等差数列,若是,请给出证明;若不是,说明理由解:(1)当时,由题意得,故,又,所以,即数列为等差数列;(2)设数列与数列的首项分别为,记, 当时,数列为等差数列,公差为,下证:对任意的,假设存在正整数,使得,设正整数的最小值为,记为,则,又由得,所以,矛盾;假设存在正整数,使得,又易得,设正整数的最大值为,不妨记为,则,又由得,所以,矛盾;综上得,对任意的,即数列是等差数列探究3:已知函数的
3、导函数,且的值为整数,当时,的值为整数的个数有且只有1个,则= 4变式1:若实数满足,则的值为_变式:2:实数满足,则的最小值为_. 变式3:已知实数同时满足,则的值为_.解:令,由,可推得,则将,分别代入,可得式子,即为,化简得,即为,解之得,将的范围代入,可得,而,则,则此时,.在中,移项得(*).要使得(*)式有解,则,则,所以,而,则,则可推得.所以的取值范围是.怎么思考:(1)类似于两边夹,通过夹逼原理将取值(或者范围)求出;(2)要求出x+y的取值范围,通常两种思路:要么构造出x+y整体的不等关系;要么单独求出x和y的取值范围,然后研究x+y的取值范围;探究4:设函数(,)。(1)若,求在上的最大值和最小值;(2)若对任意,都有,求的取值范围;(3)若在上的最大值为,求的值。解:(1)在内, ,在在内, 为增函数,在内为减函数函数的最大值为,最小值为(2)对任意有,从而有又在内为减函数,在内为增函数,只需,则的取值范围是(3)由知,加得又将代入得【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么?
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