均值不等式常见题型整理..pdf
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1、均值不等式 一、基本知识梳理 1. 算术平均值:如果a bR+,那么叫做这两个正数的算术平均值. 2. 几何平均值:如果a bR+,那么叫做这两个正数的几何平均值 3. 重要不等式:如果a bR,那么 a 2 +b 2 ( 当且仅当a=b 时,取“ =”) 均值定理:如果ab R+,那么 2 ab (当且仅当a=b 时,取“ =”) 均值定理可叙述为: 4变式变形: 22 2 2 22 1; 2 2; 2 30 ; 4 2 52. ab ab ab ba ab ab ab ab ; 5. 利用均值不等式求最值, “和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值;积为定
2、值,则可求其和的最小值。 注意三个条件: “一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6. 若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑裂项转化分离常数等变形手段, 创设一个应用均值不等式的情景。 二、常见题型: 1、分式函数求最值,如果)(xfy可表示为B xg A xmgy )( )(的形式,且)(xg在定 义域内恒正或恒负,, 0,0 mA则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数)01( 1 1 2 ax x xax y且的最小值。 解: 1 )1( 1 1
3、1 1 2 x a aax x xax ax x xax y 121221 1 )1(aaa x a xa 当 1 ) 1( x a xa即 x=0 时等号成立,1 min y 2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进 行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。 例:已知1 91 ,0,0 ba ba且,求ba的最小值。 解法一:169210 9 91 b a a b ba 思路二:由1 91 ba 变形可得,9,1,9)9)(1(baba然后将ba变形。 解法二: 16109210)9)(1(210)9() 1(bababa 可以验证:两种解法的等号
4、成立的条件均为12,4 ba。 此类题型可扩展为: 设 321 aaa、均为正数,且maaa 321 ,求 321 111 aaa S的最小值。 ) 111 )( 1 321 321 aaa aaa m S )()()(3 1 3 2 2 3 3 1 1 3 2 1 1 2 a a a a a a a a a a a a m mm 9 )2223( 1 ,等号成立的条件是 321 aaa。 3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来 求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x 的取值范围,根据取值范围来进 行逆向转换。 例:求函数3 , 2 1 ,
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