高中数学论文例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力苏教版.pdf
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1、例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力 数学教学的目的之一是培养学生的思维品质,提高学生的思维能力,使学生在学习数学 基础知识的同时,不断发现数学的思维过程,学到其思维方法,从而学会独立探索,有所发 现,有所创新,以便更好的掌握和应用知识 数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的没有一定量的题练,固然达不到练就 过硬解题本领的要求,但“题海之战”也未必培养出高素质、高能力的学生,反而加重他们 的负担,带来负面影响,这与素质教育是相悖的 笔者认为,数学解题中,应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、多题一 解、一题多变、一题多用、一题多联,进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索,
2、 其效果必胜于“宁多勿缺”的大运动量的机械重复 一、一题多解,培养思维的发散性 【例 1】求函数)0( 2cos sin y的最大值 解法一:结合正、余弦函数的有界性,构建关于函数值y 的不等式: 2cos sin y1 1 |2| 1 2 )sin(sin2cos 22 y y y y yy 解得: 3 3 y,即函数最大值为 3 3 注意:角的范围是否能使 )sin( 取到 1 或 1 解法二:针对sin和cos的不同名称,采用“减元”的方法: )0 2 (tan 3 2 tan 2 tan2 2cos sin 2 y ,由二次方程的实根分布解得函数最大值为 3 3 解法三:根据函数式的结
3、构特征,联想直线的斜率公式: )2(cos 0sin 2cos sin y,可以把 y 看作点 P(cos,sin)与点 Q( 2,0)连线的斜 率 k, 因为0, 故动点 P的轨迹是单位圆的上半部分,而过点 Q(2, 0)的直线 y=k(x+2) 与此轨迹要有公共点,便有1 1 |2| 2 k k ,解得: 3 3 k,即函数最大值为 3 3 值得注意的是, 一题多解的价值不是为了使学生知道这道题可以有多种解法,而在于使 学生学会从不同角度、不同方位去审视、去思考, 从而沟通知识之间的纵横联系,激发学生 的求知欲, 达到训练和培养发散性思维能力的目标要实现这一目标,需教师引导学生找准 发散点
4、, 并及时的调整 否则可能造成学生的迷惘和失意,甚至失去兴趣,不利于教学的进 程 二、多题一解,培养思维的聚敛性 【例 2】设关于 x 的方程02 2 axx 在(0,+)上有解,求实数a 的取值范围 【例 3】设关于 x 的方程0sin2sin 2 axx有解,求实数a 的取值范围 【例 4】设关于 x 的不等式0sin2sin 2 axx有解,求实数a 的取值范围 【例 5】设关于 x 的不等式0sin2sin 2 axx 恒成立,求实数a 的取值范围 经过分析、比对,虽然上述例2 到例 5 的数学情景不同,分别以二次方程、三角方程、 三角不等式的 “面孔” 出现, 但其本质特征通过两个变
5、量的相互关系,寻找其中一个变 量的取值(范围)是相同的,所以都可以用分离法解决 略解例 5 如下: 0s i n2s i n 2 axx恒成立1)1(sin 2 xa对Rx恒成立, 1)1( s i n)( 2 xxf的最大值为1,故所求a 的取值范围是 (1,+) 多题一解需要学生有一定的类比、观察能力, 对学生掌握基本数学技能和解题规律性有 着一定的积极作用,能达到做一题,会一类;用一法,解多题的效果,有利于求同思维的发 展,培养学生聚敛性思维能力但也不可使思维过于僵化,否则反而会走入死胡同 三、一题多变,培养思维的探索性 【例 6】 已知)( xf是定义在R 上的偶函数, 且在区间 (,
6、 0)上单调递增, 又)12( 2 aaf )321( 2 aaf,试求实数a 的取值范围 本题综合了函数的奇偶性、单调性及解不等式,内涵丰富从这一“模型”出发,可作 如下变更: 1、对原题中的“12 2 aa”和“ 2 321aa”都能定号,改为不全能定号 变题 1: 已知)(xf是定义在R 上的偶函数, 且在区间 (,0上单调递增, 又) 1log2( 2 af )2loglog( 2 2 2 aaf,试求实数a 的取值范围 分析:由于“1log2 2 a”不能定号,便需进行讨论,或根据)(xf是偶函数,有 )1log2( 2a f|)1log2(| 2 af,得|)1log2(| 2a
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