专十年高考江苏省数学试题分类解析汇编题2:函数与导数.pdf
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1、第 1 页 共 28 页 2003 年-2012 年江苏省高考数学试题分类解析汇编 专题 2:函数与导数 一、选择填空题 1.(江苏 2003 年 5 分) 设函数 00 2 1, 1)( 0, , 0, 12 )(xxf xx x xf x 则若 的取值范围是【】 A ( 1,1)B ( 1, ) C ( , 2)( 0, )D ( , 1)( 1, ) 【答案】 D。 【考点】 分段函数已知函数值求自变量的范围问题,指数不等式的解法。 【分析】 将变量 0 x按分段函数的范围分成两种情形,在此条件下分别进行求解,最后将满足的条件进 行合并: 当 0 x0 时, 0 21 x 1,则 0 x
2、 1;当 0 x0 时, 1 2 0 x1 则 0 x1, 故 0 x的取值范围是(, 1)( 1, ) 。故选 D。 2.(江苏 2003 年 5 分) 函数 1 ln,(1,) 1 x yx x 的反函数为【】 A 1 ,(0,) 1 x x e yx e B 1 ,(0,) 1 x x e yx e C 1 ,(,0) 1 x x e yx e D 1 ,(,0) 1 x x e yx e 【答案】 B。 【考点】 反函数。指数式与对数式的互化,求函数的值域。 【分析】 将 1 ln 1 x y x ,看做方程解出x,然后根据原函数的定义域x( 1,+)求出原函数的值 域,即为反函数的定
3、义域: 由已知 1 ln 1 x y x ,解x得 1 1 y y e x e 。 又当 x( 1,+)时, 12 11 11 x xx , 1 ln0 1 x y x 。 第 2 页 共 28 页 函数 1 ln,(1,) 1 x yx x 的反函数为; 1 , 0, + 1 x x e yx e 。故选 B。 3.(江苏2003年 5 分) 设 2 0,( )af xaxbxc,曲线( )yfx 在点 00 (,()P xf x 处切线的倾斜 角的取值范围为0, 4 P 则到曲线( )yf x对称轴距离的取值范围为【】 A 1 0, a B 1 0, 2a C0, 2 b a D 1 0,
4、 2 b a 【答案】 B。 【考点】 导数的几何意义,直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系,点到直线的距离。 【分析】 由导数的几何意义,得到 0 x 的范围,再求出其到对称轴的范围: 过 00 (,()P xf x的切线的倾斜角的取值范围是0, 4 00 ()2fxaxb0,1。 0 1 , 22 bb x aa 。 又点P到曲线( )yf x对称轴 2 b x a 的距离 00 22 bb dxx aa , 0 1 0, 22 b dx aa 。故选 B。 4.(江苏 2004 年 5 分) 若函数)1, 0)(logaabxy a 的图象过两点( 1,0)和(0, 1),则【】 (A)
5、a=2, b =2 (B)a=2 , b =2 (C)a=2, b =1 (D)a=2 , b =2 【答案】 A。 【考点】 对数函数的单调性与特殊点。 【分析】 将两点代入即可得到答案: 函数 y=log a (x+ b ) (a0,a1 )的图象过两点(1,0)和( 0,1) , log a ( 1+ b )=0,log a (0+b )=1。 a=2, b =2。故选 A。 5.(江苏 2004 年 5 分) 函数13)( 3 xxxf在闭区间 3, 0上的最大值、最小值分别是【】 第 3 页 共 28 页 (A)1, 1 (B)1, 17 (C)3, 17 (D)9 , 19 【答案
6、】 C。 【考点】 函数的最值及其几何意义。 【分析】 用导研究函数13)( 3 xxxf在闭区间 3,0上的单调性,利用单调性求函数的最值: 2 ( )330, 1fxxx,且在 3, 1)上( )0fx ,在( 1,0上( )0fx , 则 222 (1)(1)1fxx, 2 (2 )(2 )1fxx。 由 2 (1)(2 )fxfx 得, 22 (1)1x 2 (2 )1x ,解得021x 时, 2 10x ,则 2 ( 1)1fx , 2 (2 )(2 )1fxx 。由 2 (1)(2 )fxfx 得 1 2 (2 )1x ,无解。 综上所述,满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的x
7、的范围是( 1,21)x。 21.(江苏2010 年 5 分) 将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块 是梯形,记 2 ( S 梯形的周长) 梯形的面积 ,则 S 的最小值是。 【答案】 32 3 3 。 【考点】 求闭区间上函数的最值。 【分析】 设剪成的小正三角形的边长为x,则: 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx 令 11 1 3,(2,3),(,) 3 2 xt t t ,则: 第 9 页 共 28 页 2 22 2 44141 86 68 333131 1 8 88 t S tt tt t 。 当 13
8、 8t 时, 2 131 8 88t 有最大值,其倒数有最小值。 当 13 8t ,即 1 3 x 时, S 的最小值是 32 3 3 。 本题还可以对函数S进行求导,令导函数等于0 求出x的值,根据导函数的正负判断函数的 单调性进而确定最小值。 22.(江苏 2011年 5 分) 函数 ) 12(log)( 5 xxf 的单调增区间是_ 【答案】 , 2 1 。 【考点】 对数函数图象和性质。 【分析】 由012x,得 2 1 x,所以函数的单调增区间是, 2 1 。 23.(江苏2011年 5 分) 已知实数0a,函数 1,2 1,2 )( xax xax xf,若)1()1(afaf,则
9、 a 的值为 【答案】 3 4 。 【考点】 函数的概念,函数和方程的关系,含参数的分类讨论。 【分析】 根据题意对a分类: 当0a时,11 , 11aa,aaaa2)1()1 (2,解之得 2 3 a,不合舍去; 当0a时,11 , 11aa,aaaa2)1()1(2,解之得 4 3 a。 14.(江苏 2011年 5 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知点P 是函数)0()(xexf x 的图象上的动 点,该图象在P 处的切线l交 y 轴于点 M,过点 P 作l的垂线交y 轴于点 N,设线段MN 的中点的纵 坐标为t,则t的最大值是 【答案】)( 2 1 1 ee。 第 10 页 共 28
10、 页 【考点】 指数运算,函数的导数的求法及导数的几何意义,导数用于求函数的最值。 【分析】 设 P 点坐标为 )0)(,(mem m , 由 x exf)( 得,l的方程为 )(mxeey mm ,令0x得, mm meey 。 过点 P 的l的垂线方程为 )(mxeey mm ,令0x得, mm meey 。 )( 2 1mmmm meemeet。 对函数t( m)求导,得 1 ()(1) 2 xx teex , t在(0,1)上单调增,在(1,)单调减,当1m时,函数t( m)的最大值为)( 2 1 1 ee。 15. ( 2012年江苏省5 分) 函数xxf 6 log21)(的定义域
11、为 【答案】06,。 【考点】 函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】 根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 1 266 00 0 6 1 12log0log 6 =6 2 0x x x xx x 。 16. ( 2012 年江苏省5 分) 已知函数 2 ( )()f xxaxb a bR,的值域为0),若关于x 的不等 式 ( )f xc的解集为(6)mm,则实数 c 的值为 【答案】 9。 【考点】 函数的值域,不等式的解集。 【解析】 由值域为0),当 2 =0xaxb时有 2 40abV,即 2 4 a b, 2 2 22 ( ) 42 aa f xx
12、axbxaxx。 2 ( ) 2 a f xxc解得 2 a cxc, 22 aa cxc。 第 11 页 共 28 页 不等式( )f xc的解集为(6)mm,()()26 22 aa ccc ,解得9c。 二、解答题 1.(江苏 2003 年 12 分) 已知0,an为正整数 ()设 () n yxa ,证明 1 () n yn xa ; ()设( )() nn n fxxxa,对任意na,证明 1( 1)(1)( ) nn fnnfn 【答案】 证明:() n k k n n Cax 0 )( kkn xa)( , 1 0 )( kkn n k k n xakCy n k n 0 111
13、 1( )() knkkn n Caxn xa 。 ()对函数 nn n axxxf)()( 求导数: 11 11 ( )(), ( )(). 0,( )0. ,( )(). ,(1)(1)() nn n nn n n nn n nnnn fxnxx xa fnn nna xafx xafxxxax nannanna 所以 是于 的增函 因此 )()(1()1()1)(1() 1( 1 nnnn n annnannnnf 1 (1) ()(1)() nn n nnn nanfn 。 即对任意 1 ,(1)(1)( ) nn na fnnfn 【考点】 导数的运算,不等式的证明。 【分析】( I
14、)利用复合函数的求导法则,先求出外函数与内函数的导数,再求它们的乘积。 (II )先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数,再求x用x+1 代替求出导函数值,易比 较出两者的大小。 2.(江苏 2005 年 12 分) 已知Ra,函数|)( 2 axxxf 当2a时,求使xxf)(成立的x的集合;( 4 分) 求函数)(xfy在区间2, 1上的最小值(10 分) 第 12 页 共 28 页 【答案】 解: (1)由题意, |2|)( 2 xxxf 当2x时,由 xxxxf)2()( 2 ,解得0x或1x; 当2x时,由 xxxxf)2()( 2 ,解得 21x 综上,所求解集为0, 1, 12
15、。 (2)设此最小值为 m 当1a时,在区间 1,2上, 23 )(axxxf , 0) 3 2 (323)( 2 axxaxxxf,)2, 1(x, )(xf是区间 1,2上的增函数,所以afm1)1(。 当21a时 , 在 区 间 1 , 2 上 , 0|)( 2 axxxf , 由0)(af知 , 0)(afm。 当2a时,在区间 1,2上, 32 )(xaxxf , ) 3 2 (332)( 2 xaxxaxxf 若3a,在区间( 1,2)上,0)( xf,则)(xf是区间 1,2上的增函数, 1)1(afm。 若 32a ,则2 3 2 1a, 当ax 3 2 1时,0)( xf,则
16、)(xf是区间 1,a 3 2 上的增函数, 当2 3 2 xa时,0)( xf,则)(xf是区间 a 3 2 ,2上的减函数, 当32a时,1)1(afm或)2(4)2(afm。 当 3 7 2a时,1)2(4aa,故)2(4)2(afm。 当3 3 7 a时,1)2(4aa,故1)1 (afm。 第 13 页 共 28 页 综上所述,所求函数的最小值 3 7 1 3 7 2)2(4 210 11 aa aa a aa m 。 【考点】 函数与导数综合运用,分段函数的解析式求法。 【分析】( 1)把2a代入函数解析式,根据绝对值的符号分为两种情况,即2x和2x分别求解 对应方程得根,再把所有
17、的根用列举法表示出来。 ( 2)根据区间 1,2和绝对值内的式子进行分类讨论,即1a、21a和2a三种情况, 分别求出解析式和它的导函数,利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性,再求最小值; 当3a时 最小值可能取在区间的两端,再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小,最后用分段函数表示函 数的最小值。 3.(江苏 2006 年 14 分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O 到底面 中心 1 O的距离为多少时,帐篷的体积最大? 【答案】 解:设 OO1为xm, 则由题设可得正六棱锥底面边长为 222 3
18、(1)82xxx 底面正六边形的面积为 22222 33 3 3(1)6( 82)(82) 42 xxxxx 帐篷的体积为 233 313 V( )(82)(1)1(1612) 232 xxxxxx。 求导数,得 2 3 V ( )(123) 2 xx。 令V ( )0 x解得x=2(不合题意,舍去),x=2。 当 1时,函数ym t, 2,2t的图象是开口向上的抛物线的一段,由 1 0t时, 1 0 a ,此时( )2g aa, 11 ()2g aa 。由 1 22a a 解得 1a,由0a 得1a。 综上所述,满足 1 ( )( )g ag a 的所有实数a为 2 2 2 a或1a。 【考
19、点】 函数最值的应用 【分析】( I)由txx11先求定义域,再求值域。由 22 1 11 2 xt转化。 ( II)求( )g a的最大值, 即求函数 21 , 2, 2 2 m tattat的最大值 严格按照二次函 数求最值的方法进行。 (III )要求满足 1 ( )()g ag a 的所有实数a,则必须应用( )g a的解析式,它是分段函数,必 须分情况选择解析式进行求解。 第 16 页 共 28 页 5.(江苏 2007 年 16 分) 已知, , ,a b c d是不全为0的实数,函数 2 ( )f xbxcxd, 32 ( )g xaxbxcxd ,方程( )0f x有实根,且(
20、 )0f x的实数根都是( )0g f x的根, 反之,( )0g f x的实数根都是( )0f x的根, ( 1)求d的值;(3 分) ( 2)若0a,求c的取值范围; (6 分) ( 3)若1,(1)0af,求c的取值范围。 (7 分) 【答案】 解: (1)设 0 x是0fx的根,那么 0 0fx, 则 0 x是( )0g f x的根,则 0 0,gfx即00g, 0d。 (2)0a, 22 ,fxbxcx g xbxcx, 则( )g f xfxbfxc= 222 bxcxb xbcxc=0的根也是 0fxxb xc 的根。 (a) 当 0b , 0c 时, 此时0fx的根为 0, 而
21、( () ) 0g f x的根也是0, 0c 。 (b)当0b,0c时,0fx的根为 0,而( )0g f x的根也是0。 (c)当0b,0c时,0fx的根为 0 和 c b ,而 0bfxc 的根不可能为 0 和 c b , 0bfxc必无实数根, 2 2 40bcb c,由0b解得04c。 综上所述,当0b时,0c;当0b时,04c。 (3)1,(1)0af,0bc,即0fx的根为 0 和 1。 2 22 cxcxccxcxc=0 必无实数根。 (a)当0c时,t= 2 cxcx= 2 1 244 cc c x ,即函数 2 h ttctc在 第 17 页 共 28 页 4 c t, 0h
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