高中均值不等式讲解及习题.pdf
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1、高中均值不等式讲解及习题 一均值不等式 1.(1)若Rba,,则abba2 22 (2)若Rba,,则 2 22 ba ab(当且仅当 ba时取“ = ”) 2. (1)若 * ,Rba,则ab ba 2 (2)若 * ,Rba,则abba2(当且仅当ba时取“ = ” ) (3)若 * ,Rba,则 2 2 ba ab(当且仅当 ba时取“= ” ) 3.若 0x,则 1 2x x (当且仅当1x时取“= ” );若0x,则 1 2x x (当且仅当1x时取“ = ” ) 若0x,则 111 22-2xxx xxx 即或(当且仅当 ba时取“ = ” ) 3.若 0ab,则 2 a b b
2、a (当且仅当 ba时取“ = ” ) 若 0ab,则 22-2 ababab bababa 即或(当且仅当ba时取“ = ” ) 4.若Rba,,则 2 ) 2 ( 22 2 baba (当且仅当 ba时取“= ” ) 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小 值,正所谓“积定和最小,和定积最大” (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 (1)y3x 2 1 2x 2(2)yx 1 x 解:
3、(1)y3x 2 1 2x 223x 2 1 2x 26 ?值域为6 ,+) (2)当 x0 时,yx 1 x 2x 1 x 2; 当 x0 时, yx 1 x = (x 1 x ) 2x 1 x = 2 ?值域为(,22,+) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 5 4 x,求函数 1 42 45 yx x 的最大值。 解:因4 50x,所以首先要“调整”符号,又 1 (42) 45 x x 不是常数,所以对 42x要进行拆、凑项, 5 ,540 4 xx, 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x ,即 1x时,上式等号成立,故当1x时, ma
4、x 1y。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当时,求(82 )yxx的最大值。 解析:由知,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但 其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定值,故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。 当,即 x2 时取等号当 x2 时,(82 )yxx的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设 2 3 0x,求函数)23(4xxy的最大值。 解: 2 3 0x?023x? 2 9 2 232 2)23(2
5、2)23(4 2 xx xxxxy 当且仅当,232xx即 2 3 ,0 4 3 x时等号成立。 技巧三:分离 例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x1)的项,再将其分离。 当,即时, 4 21)59 1 yx x (当且仅当 x1时取“”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分离求最值。 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ) 当,即 t=时, 4 259yt t (当 t=2 即 x1时取“”号)。 评注:分式函数求最值,
6、通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化 为 ( )(0,0) ( ) A ymg xB AB g x ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数( ) a f xx x 的单调性。 例:求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 解:令 2 4(2)xt t,则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ,但 1 t t 解得1t不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。 因为 1 yt t 在区间1,单调递增,所以
7、在其子区间2,为单调递增函数,故 5 2 y。 所以,所求函数的值域为 5 , 2 。 练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) 2 31,( 0) xx yx x (2) 1 2,3 3 yxx x (3) 1 2sin,(0,) sin yxx x 2已知0 1x,求函数(1)yxx 的最大值 .;3 2 0 3 x,求函数(2 3 )yxx 的最大值 . 条件求最值 1.若实数满足 2ba,则 ba 33的最小值是. 分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 ba 33定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: ba 33 和都是正数, ba 33 632332
8、baba 当 ba 33时等号成立,由2ba及 ba 33得1ba即当1ba时, ba 33的最小值是 6 变式:若 44 loglog2xy,求 11 xy 的最小值 .并求 x,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 2:已知0,0xy,且 19 1 xy ,求xy的最小值。 错解 :0,0xy,且 19 1 xy , 199 2212xyxyxy xyxy 故 min 12xy。 错因: 解法中两次连用均值不等式, 在2xyxy等号成立条件是xy, 在 1 99 2 x yx y 等号成立条件是 19 xy 即9yx, 取等号的条
9、件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤, 而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解: 19 0,0,1xy xy , 199 1061016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时,上式等号成立,又 19 1 xy ,可得4,12xy时, min 16xy。 变式: (1)若Ryx,且12yx,求 yx 11 的最小值 (2)已知Ryxba,且 1 y b x a ,求 yx 的最小值 技巧七、已知x,y为正实数,且x 2y 2 2 1,求x1y 2 的最大值 . 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab a 2 b 2
10、 2 。 同时还应化简1y 2 中y 2 前面的系数为 1 2 ,x1y 2 x2 1y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将x, 1 2 y 2 2 分别看成两个因式: x 1 2 y 2 2 x 2( 1 2 y 2 2 ) 2 2 x 2y 2 2 1 2 2 3 4 即x1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 技巧八:已知a,b为正实数, 2baba30,求函数y 1 ab 的最小值 . 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本 不等式求解, 对本题来说, 这种途径是可行的; 二是直接用基本 不等式,对本题来说
11、, 因已知条件中既有和的形式, 又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 法一:a302b b1 ,ab302b b1 b 2 b 230 b b1 由a0 得,0b15 令tb+1,1t16,ab2 t 234t 31 t 2(t16 t )34t 16 t 2t 16 t 8 ?ab18 ?y 1 18 当且仅当t4,即b3,a6 时,等号成立。 法二:由已知得: 30aba2ba2b22 ab?30ab22 ab 令uab则u 2 22 u300, 52 u32 ?ab32 ,ab18,?y 1 18 点 评 : 本 题 考查 不等 式ab
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