导数与微分知识拓展(二).pdf
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1、5什么是泰勒公式?怎样求函数的泰勒公式? 对于一些较复杂的函数,为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算,我们往往希望 用一些简单的函数来近似表达由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、 乘 三种运算, 便能求出它们的函数值,因此我们经常用多项式近似代替一般函数,那一个函数 具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢?如果一个函数能用多项式近似代替,这个多项 式的系数与这个函数有什么样的关系呢?用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢? 首先讨论若p(x)是一个n 次多项式 .xaxaxaaxp n n 2 210 .xxbxxbxxbbxp 的幂表示,即令x按着xx将p n 0n 2
2、02010 0 有什么关系?x与p、b、b、b那么,b n210 ,xxnbxx3bxx2bbxp又 .xp,得bx在上式中,令x 1n 0n 2 03021 000 ,xxb1nnxxb23b2xp . ! 1 xp xpb,xx 2n 0n032 0 010 又 得再令 ! xpxp b,xx 22 00 20 得再令 , .xx n! xp xx 2! xp xx 1! xp xpxp:于是 n.,0,1,2,k, k! xp 即:b n! xp b n 0 0 n 2 0 0 0 0 0 0 k k 0 n n 由此可知,将n 次多项式函数p(x)按着 0 xx的幂展开,它的多项式的系
3、数 k b由 多项式 p(x)所确定,即. !k xp b 0 k k 对于任意的函数(不必是多项式函数),只要函数f(x)在点 0 x存在直到n 阶导数,总 能写出一个相应的n 次多项式 .xx !n xf xx !2 xf xx ! 1 xf xfxT n 0 0 n 2 0 0 0 0 0n 多项式xT n 称为 f(x)在 0 x的 n 次泰勒多项式若用 n 次泰勒多项式近似代替f(x) , 所产生的误差怎样表示呢?一般地,我们有: 若函数 f(x)在含有点 0 x的某开区间(a,b)内有直到n1 阶导数,则对任意的点x ( a,b) ,有 n 0 0 n 2 0 0 000 xx !
4、n xf xx !2 xf xxxfxfxf ,xx !1n f 1n 0 1n 其中 1n 0 1n xx !1n f 称为拉格朗日余项,记作xR n ,即 .xxxx !1n f xR 0 1n 0 1n n 之间与介于 上面的公式称为泰勒(Taglor)公式,也称为具有高阶导数的中值定理,在这里令n 1, ,xxfxfxf 00 即是拉格朗日中值定理 在上式中,若用泰勒多项式近似代替f(x) ,所产生的误差是 .xx|xx| !1n |f | |xR| 0 1n 0 1n n 之间与介于 特别地,若xf 1n 在( a, b)上有界,设M0, 对b,ax,有,M|xf| 1n 则误 差可
5、表示: .|xx| !n M |xR| n n 1 0 1 从上面可以求出,要求f( x) 的泰勒公式,只要求出泰勒多项式的系数 k b,而 , !k xf b 0 k k 因此只须求f(x)在 0 x的直到 n 阶的导数n,2,1 ,0kxf 0 k 即可 .1x4x2x3xxf1 23 的多项式展开为将例 思路启迪x1 可以写成x( 1) ,故只需求出f(x)有 1 点的各级导数即可 .61f,6xf ;01f,6x6xf ; 11f,2x6x3xf ;41f,4x2x3xxf ,1x 2 23 0 规范解法 .1x1x4xf .1x !3 6 1x !2 0 1x14xf 3 32 即
6、故得 0时,公式成为:在泰勒公式中,当x 0 .10,x !1n xf x !n 0f x !2 0f x0f0fxf 1n 1n n n 2 这个公式称为马克劳林(Maclaurin )公式 例 2 将 f(x) ln(1x)展开为x 的幂式(即马克劳林公式) 思路启迪首先求出f(x)在 0 点的各阶导数,然后代入公式即可 规范解法当 x1 时, f(x)是连续函数,并有连续的各阶导数: .10 x11n x 1xR ,xR n x 1 3 x 2 x xx1ln ,00f .,2,1n!1n10f ,2,1n x1 !1n 1xf 1n 1n n n n n 1n 32 1n n n 1n
7、 n 所以 又 .10,e 1n x n! x 2! x 1! x 1e故有 1,0f ,ex已知f规范解法 的马克劳林公式.ex求出函数f例3 x 1nn2 x nxn x 例 4利用 ln(1x)展开式的前五项计算ln1.2 之值 ln ,.|R| ,Rlnln ,.x .x, x |R| ,R xxxx xxln 182300000600004000026700202021 2000000110 1 1 000640 6 1 20 5 1 20 4 1 20 3 1 20 2 1 2020121 20 0 1 1 6 5432 1 6 5 5 5432 6 6 5 5 5432 故 取
8、规范解法 6怎样判别曲线的凹凸性及拐点? 由导数xf的符号,可知函数f(x)的单调性,但还不能完全反映它的变化规律,如 函数 3 xy与xy(图 317) 在 (0, )都是单调增加的, 但增加的方式却不同, 3 xy 是向上弯曲的,而xy是向下弯曲的因此,研究函数图像时,考察它们的弯曲方向是 很有必要的 由图 318(a) 、图 3 18(b)我们可以直观地看到,当动点P 沿着曲线滑动时,曲线 上的切线随着点P 而变化当每一点的切线位于曲线下方时,曲线是向上弯曲的,此时称 曲线是向下凹的;当每一点切线位于曲线的上方时,曲线是向下弯曲的,此时称曲线是向上 凸的 如果一条曲线y f(x)在区间(
9、 a,b)上是向下凹或是向上凸的,我们就说曲线yf (x)在( a,b)上具有凸凹性,曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点 下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法 设 f( x)在 0 xx的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数,曲线y f( x)在点 00 xf,xM的切线为.xxxfxfy 000 因而切线上横坐标为x 的点的纵坐标为: .xxxfxfBAy 000 曲线上横坐标为x 的点的纵坐标为: ,xxf 2 1 xxxfxfBCxf 2 0000 与x之间,故介于x 0 .xxf 2 1 AC 2 0 AC表示点 x 处曲线上的点与切线上的点之间的距离( 如图 319) (1)
10、当0xf 0 时,则)x( f在点 0 x的充分小邻域内也大于0,因此 ACO ,于是 C在 A之上,换句话说,在M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之上,故曲线在M点附近是向下 凹的 (2) 当,0xf 0 则 xf 在点 0 x 的充分小邻域内也小于0,因此AC0 ,即点C在 A 之 下,换句话说, 在点 M的充分小邻域内,曲线弧落在切线之下,故曲线在M点附近是向上凸 的 (3) 当0xf 0 时,f可能是正数也可能是负数 若 x 由小于 0 x变为大于 0 x,xf不变号,则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸 的;若x 由小于 0 x变为大于 0 x,xf变号,则在点M处曲线将从切线的一侧穿
11、过切线 进入另一侧,即曲线在点M附近两侧,其中一侧是向下凹的,则另一侧是向上凸的此时, 点 M是曲线向下凹与向上凸的分界点,即是拐点 从上面 (3) 中的可以看出,若 0 x是使得0xf 0 的点,则 00 xf ,x可能是拐点 根据以上的讨论,我们可以给出判别曲线yf(x)凸凹性的步骤: (1) 求出 yf(x) 的定义域D (2) 求出xf,并求出方程0xf的根,x 12 x等 (3) 用,x 12 x等点将 D分成若干个区域,在每个区间上判别xf的符号若0xf, 则在此区间上的曲线是向下凹的;若0xf,则在此小区间上是向上凸的( 此步骤通常列 表完成 ) 曲线是向下凹的.0,6xy0时,
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