新人教A版数学选修1-1《3.1.1变化率问题》导学案.pdf
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1、河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题学案 新人教 A版选修 1-1 【学习目标】 1. 理解平均变化率的概念 ; 2. 了解平均变化率的几何意义; 3. 会求函 数在某点处附近的平均变化率. 【重点难点】 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习内容】 一、学习背景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象, 在数学中引入了函数, 随着对函数的研 究, 产生了微积分, 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求 物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度
2、、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小) 值等问题最一般、 最有效的工具 . 导数 研究的问题即 变化率问题 : 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课学习 ( 一) 问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程, 可以发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球 的半径增加越来越慢. 从数学角度 , 如何描述这种现象呢? 分析: (1) 当V从0增加到1时, 气球半径增加了 气球的平均 膨胀率 为 (2) 当V从1增加到2时, 气球半径增加了 气球的平均膨胀率 为 可以看出: 思考 : 当空气容量从V1增加
3、到V2时, 气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h( 单位 :m) 与起跳后的时间t(单位 :s) 存在函数关系105. 69. 4)( 2 ttth. 如何用运动员在某些时间段内的平均速v度 粗略 地描述其运动状态? 思考计算 : 5 .00t和21t的平均速度v 探究 : 计算运动员在 49 65 0t这段时间里的平均速度, 并思考 以下问题 :(1) 运动员在这段时间内是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? ( 二) 平均变化率概念 1. 上述问题中的变化率可用式子 12 12 )()( xx xfxf
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