【优质文档】九年级数学竞赛专题讲座_二次函数的图像与性质(含答案).pdf
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1、学习必备欢迎下载 九年级数学竞赛 - 二次函数的图像与性质 一、内容概述 二次函数有丰富的内容,下面从四个方面加以总结 1定义: 形如函数 2 (0)yaxbxc a称为二次函数,对实际问题二次函数也有定义域. 2图像 二次函数的图像为抛物线,一般作二次函数图像,取五个点,先确定顶点的横坐标,再以它为中心向 左、向右对称取点. 3性质 对 2 (0)yaxbxc a的图像来讲, (1)开口方向:当0a时,抛物线开口向上;当0a时,抛物线开口向下。 (2)对称轴方程: 2 b x a (3)顶点坐标: 2 4 , 24 bacb aa (4)抛物线与坐标轴的交点情况: 若 2 40bac,则抛物
2、线与x轴没有交点;若 2 40bac,则抛物线与x轴有一个交点; 若 2 40bac,则抛物线与x轴有两个交点,分别为 2 4 (,0) 2 bbac a , 2 4 (,0) 2 bbac a ; 另外,抛物线与y轴的交点为0,c. (5)抛物线在x轴上截出的距离为: 22 bb aaa (6)y与x的增减关系: 当0a, 2 b x a 时,y随x的增大而增大, 2 b x a 时,y随x的增大而减小; 当0a, 2 b x a 时,y随x的增大而减小, 2 b x a 时,y随x的增大而增大. (7)最值: 当0a时,y有最小值,当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a 最小
3、值 ; 当0a时,y有最大值,当 2 b x a 时, 2 4 4 acb y a 最大值 (8)若抛物线与x轴两交点的横坐标为 1 x、 2 x( 12 xx) ,则: 当0a时, 12 xxx时,0y; 12 xxxx或时,0y; 当0a时, 12 xxx时,0y; 12 xxxx或时,0y. 4求解析式 抛物线的解析式常用的有三种形式: (1)一般式: 2 (0)yaxbxc a (2)顶点式: 2 ()(0)ya xhk a,其中( , )h k是抛物线的顶点坐标。 (3)交点式: 12 ()()(0)ya xxxxa,交点式只在抛物线与x轴有交点时才用到,式中 1 x、 2 x是 抛
4、物线与x轴交点的横坐标。 解题时,视情况和需要,一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。 学习必备欢迎下载 二、例题解析 例 1设抛物线为 2 1yxkxk,根据下列各条件,求k的值。 (1)抛物线的顶点在x轴上; (2)抛物线的顶点在 y轴上; (3)抛物线的顶点1, 2; (4)抛物线经过原点; (5)当1x时,y有最小值; (6)y的最小值为1. 解: (1)2k; (2)0k; (3)1k; (4)1k; (5)2k; (6)0k或4k 例 2 设直线ykxb与抛物线 2 yax的两个交点的横坐标分别为 1 x和 2 x,且直线与x轴交点的横 坐标为 3 x,求证: 123 111
5、xxx . 解:由题意得 1 x和 2 x为方程 2 kxbax的两个根,即 2 0axkxb, 12 k xx a , 12 b x x a 12 1212 11xxk xxx xb 直线与x轴交点的横坐标为: 3 k x b 3 1b xk 123 111 xxx 例 3 二次函数 2 yaxbxc,当 1 2 x时,有最大值25,而方程 2 0axbxc的两根、, 满足 33 19,求a、b、c。 解:设二次函数 2 ()(0)ya xhk a, 当 1 2 x时,有最大值25,即:顶点为 1 ,25 2 2211 ()2525 24 ya xaxaxa 由已知得: 2 1 250 4
6、axaxa的两根为、,满足 33 19 2 () ()319 根据两根之和与两根之积的关系解得4a 2 4424yxx,即4a,4b,24c. 例 4 证明:无论a取任何实数值时,抛物线 211 (1) 24 yxaxa是通过一个定点,而且这些抛 物线的顶点都在一条确定的抛物线上。 证明: 222111111 (1)()()() 244222 yxaxaxxa xxa x 当 1 2 x时, 1 ()0,0 2 a xy 即无论a取任何实数时,已知抛物线总通过点M 1 ,0 2 学习必备欢迎下载 又 2 22 1111 (1) 2424 a yxaxaxa 故抛物线的顶点坐标为 2 11 ,
7、24 a a 即 2 1 2 1 4 a x ya ,消去a得, 2 1 () 2 yx 这条曲线是一条抛物线,即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上. 例 5 已知抛物线 2 (0)yaxbxc a过0,4 , 2, 2两点,若抛物线在x轴上截得的线段最短 时,求这时的抛物线解析式。 解:抛物线过0,4 , 2, 2两点,代入解析式得23,4bac 所以 22 (23)4yaxbxcaxax 此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为 2 2 2316 49 4(0) aa a aaa 当 142 299a ,即 9 2 a时,抛物线在x轴上截得的线段最短,将 9 2 a代入23ba,得 12b
8、抛物线的解析式是 2 9 124 2 yxx 例 6 如果二次函数 2 yaxbxc的图像的顶点坐标是2,4,且直线4yx依次与y轴和抛物 线相交于 P、Q、R 三点, PQ:QR=1:3,求这个二次函数解析式。 解:图像的顶点坐标是2,4,所以可设 2 (2)4ya x(1) P 点的坐标是0,4,设 Q、R 点的坐标为 11 ,xy和 22 ,xy,则 11 4yx, 22 4yx 2222 11111 (0)(4)2PQxyxxx, 22 222 (0)(4)2PRxyx PQ:QR=1:3 且 P 在 QR 之处, PQ:PR=PQ :( PQ+QR) 1:4 即 1 2 x: 2 2
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