【优质文档】实际问题与二元一次方程组题型归纳.pdf
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1、精品资料欢迎下载 实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一:列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联 系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足: (1) 方程两边表示的是同类量;(2) 同类量的单位要统一;(3) 方程两边的数值要相等. 知识点 二:列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤: 1审题 : 弄清题意及题目中的数量关系;2设未知数 : 可直接设元,也可间接设元; 3找出题目中的等量关系;4列出方程组 : 根据题目中
2、能表示全部含义的等量关系列出方程, 并组成方程组;5解所列的方程组,并检验解的正确性;6写出答案 . 要点诠释: (1) 解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果 是否合理,不符合题意的解应该舍去; (2) “设”、 “答”两步,都要写清单位名称; (3) 一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系;审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;注 意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时, 不要带单位;正确书写速度单位,避免与路程单
3、位混淆;在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含 的条件;列方程组解应用题一定要注意检验。 知识点 三:列方程组解应用题中常用的基本等量关系 类型一:列二元一次方程组解决行程问题 (1) 追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观, 画线段 , 用图便于理解与分析。其等量关系式是: 两者的行程差开始时两者相距的路程; ; (2) 相遇问题 : 相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直 观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和总路程。 (3) 航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度; 船在静水中的
4、速度水速船的逆水速度; 顺水速度逆水速度2水速。 注意: 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题 类似。 精品资料欢迎下载 例 1甲、乙两地相距160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1 小时 20 分 相遇 . 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发 半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 思路点拨: 画直线型示意图理解题意: (1) 这里有两个未知数:汽车的行程;拖拉机的行程. (2) 有两个等量关系: 相向而行:汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米
5、 ; 同向而行:汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 . 解: 设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米 . 根据题意,列方程组解这个方程组,得: . 答:汽车行驶了165 千米,拖拉机行驶了85 千米 . 总结升华: 根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题 的常用的解决策略。 【变式 1】甲、乙两人相距36 千米, 相向而行, 如果甲比乙先走2 小时, 那么他们在乙出发2.5 小时后相遇;如果乙比甲先走2 小时,那么他们在甲出发3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多 少千米? 【变式 2】两地相距280 千米,一艘船在其间航行,顺流用14 小时
6、,逆流用20 小时,求船在静 水中的速度和水流速度。 精品资料欢迎下载 类型二:列二元一次方程组解决工程问题 工程问题: 工作效率工作时间=工作量 . 例 2一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8 天可以完成,需付两组费用共 3520 元;若先请甲组单独做6 天,再请乙组单独做12 天可完成,需付两组费用共3480 元,问: (1) 甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?(2) 已知甲组单独做需12 天完成,乙组单独做需24 天完 成,单独请哪组,商店所付费用最少? 思路点拨: 本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:若请甲、乙两个装修组同时施 工, 8 天可以完成,需付两
7、组费用共3520 元;第二层含义:若先请甲组单独做6 天,再请乙组单独 做 12 天可完成,需付两组费用共3480 元。设甲组单独做一天商店应付x 元,乙组单独做一天商店 应付 y 元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520, 由第二层含义可得方程6x+12y=3480. 解 :(1) 设甲组单独做一天商店应付x 元,乙组单独做一天商店应付y 元,依题意得: 解得 答:甲组单独做一天商店应付300 元,乙组单独做一天商店应付140 元。 (2) 单独请甲组做,需付款300 123600 元,单独请乙组做,需付款241403360 元, 故请乙组单独做费用最少。 答:请乙组单独做费用最少。
8、总结升华: 工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将 工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进 行分析。 【变式】 小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元; 若甲公司单独做4 周后,剩下的由乙公司来做,还需9 周完成,需工钱4.8 万元 . 若只选一个公司单 独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?请你说明理由. 类型三:列二元一次方程组解决商品销售利润问题 (1) 利润售价成本( 进价 ) ;(2);(3) 利润成本(进价)利 润率; 定价成本 ( 进价
9、) (1 利润率 ) ;(5) 实际售价标价打折率; 注意: “商品利润售价成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按 标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十) 精品资料欢迎下载 例 3有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整 后,甲商品的利润率为4% ,乙商品的利润率为5% ,共可获利44 元,则两件商品的进价分别是多少 元? 思路点拨 :做此题的关键要知道:利润进价利润率 解:甲商品的进价为x 元,乙商品的进价为y 元,由题意得: ,解得: 答:两件商品的进价分别为600 元和
10、 400 元。 【变式 1】(2011 湖南衡阳)李大叔去年承包了10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000 元, 其中甲种蔬菜每亩获利2000 元,乙种蔬菜每亩获利1500 元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 多少亩? 【变式 2】某商场用36 万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6 万元,其进价和售价如下表: A B 进价(元 / 件)1200 1000 售价(元 / 件)1380 1200 (4) (注:获利 = 售价 进价)求该商场购进A 、B两种商品各多少件; 类型四:列二元一次方程组解决银行储蓄问题 (1) 基本概念 本金:顾客存入银行的钱叫做本金。利息:银行付给顾客的酬金
11、叫做利息。 本息和:本金与利息的和叫做本息和。期数:存入银行的时间叫做期数。 利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税:利息的税款叫做利息税。 (2) 基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1 利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 精品资料欢迎下载 税后利息利息 (1 利息税率 ) 年利率月利率12 。 注意: 免税利息 =利息 例 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000 元钱, 一种是年利率为2.25 的教育储蓄,另一种是年利率为2.25 的一年定期存款,一年后可取出 2042.75 元,问这两种储
12、蓄各存了多少钱?(利息所得税利息金额20% ,教育储蓄没有利息所得 税) 思路点拨:设教育储蓄存了x 元,一年定期存了y 元,我们可以根据题意可列出表格: 解:设存一年教育储蓄的钱为x 元,存一年定期存款的钱为y 元,则列方程: ,解得: 答:存教育储蓄的钱为1500 元,存一年定期的钱为500 元. 总结升华 : 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找 出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随 之浮现出来 . 【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了2000 元和 1000 元,一年后全部取出,扣除利息所得税可 得利
13、息 43.92 元. 已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?(注: 公民应缴利息所得税=利息金额 20% ) 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第 一种,一年期整存整取,共反复存了3 次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%; 第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共得利息303.75 元( 不计 利息税 ) ,问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元? 精品资料欢迎下载 类型五:列二元一次方程组解决生产中的配套问题 解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的
14、比例=每一套各部分之间的比例。 例 5某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ,应分别用多少布料才能使做的衣 身和衣袖恰好配套? 思路点拨: 本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为132 米;第二个 相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2 倍( 注意: 别 把 2 倍的关系写反了). 解: 设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得: 答:用 60 米布料做衣身,用72 米布料做衣袖才能使做的衣身
15、和衣袖恰好配套. 总结升华: 生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的 配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数 量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键. 【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子? 【变式 2】某工厂有工人60 人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺 栓 14 个或螺母20 个,应分配多少人生产螺栓,多少人
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