九年级二次函数培优竞赛试题及答案.pdf
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1、九年级二次函数培优竞赛试题及答案 1在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0) 、B(0,4),将线段 AB绕点 A按逆 时针方向旋转 90至 AC (1) 求点 C的坐标; (2) 若抛物线 y 1 4x 2ax4 经过点 C 求抛物线的解析式; 在抛物线上是否存在点P(点 C除外) 使ABP是以 AB为直角边的等腰直角三 角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由 2 如图 1, 已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B, 抛物线 y=-x 2+bx+c 经过 A、B两点,与 x 轴交于另一个点 C,对称轴与直线AB交于点 E,抛物线顶 点为 D (1)
2、求抛物线的解析式; (2)在第三象限内, F 为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3, 求点 F 的坐标; (3)点 P从点 D出发,沿对称轴向下以每秒1 个单位长度的速度匀速运动,设 运动的时间为 t 秒,当 t 为何值时,以 P、B、C为顶点的三角形是直角三角形? 直接写出所有符合条件的t 值 1. 【解析】 试题分析:(1)过点 C作 CD垂直于 x 轴,由线段 AB绕点 A按逆时针方向旋转 90至 AC ,根据旋转的旋转得到AB=AC ,且 BAC为直角,可得 OAB与CAD 互余,由 AOB为直角,可得 OAB与 ABO互余,根据同角的余角相等可得一 对角相等,再加上一对
3、直角相等,利用ASA可证明三角形 ACD与三角形 AOB全 等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ,CD=OA,由 A 和 B的坐标及位置 特点求出 OA及 OB的长,可得出 OD及 CD的长,根据 C在第四象限得出C的坐 标; (2)由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式, 列出关于 a 的方程,求出方程的解得到a 的值,确定出抛物线的解析式; 假设存在点 P使ABP是以 AB为直角边的等腰直角三角形, 分三种情况考虑: (i )A为直角顶点,过 A作 AP1垂直于 AB ,且 AP1=AB ,过 P1作 P1M垂直于 x 轴, 如图所示,根据一对对顶角相等,一
4、对直角相等,AB=AP1,利用 AAS可证明三角 形 AP1M与三角形 ACD 全等,得出 AP1与 P1M的长,再由 P1为第二象限的点,得出 此时 P1的坐标,代入抛物线解析式中检验满足; (ii )当 B为直角顶点,过 B作 BP2垂直于 BA ,且 BP2=BA ,过 P2作 P2N垂直于 y 轴,如图所示,同理证明三角形 BP2N与三角形 AOB 全等,得出 P2N与 BN的长,由 P2为第三象限的点,写出P2的 坐标,代入抛物线解析式中检验满足; (iii)当 B为直角顶点,过 B作 BP3垂直 于 BA ,且 BP3=BA ,如图所示,过P3作 P3H垂直于 y 轴,同理可证明三
5、角形P3BH 全等于三角形 AOB ,可得出 P3H与 BH的长,由 P3为第四象限的点,写出P3的坐 标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P的坐标 试题解析:(1)过 C作 CD x 轴,垂足为 D, BA AC , OAB+ CAD=90 , 又AOB=90 , OAB+ OBA=90 , CAD= OBA ,又 AB=AC ,AOB= ADC=90 , AOB CDA ,又 A(1,0) ,B(0,2) , OA=CD=1,OB=AD=2 , OD=OA+AD=3,又 C为第四象限的点, C的坐标为( 3,1) ; (2)抛物线 y= 1 2 x 2+ax+2 经过
6、点 C,且 C(3,1) , 把 C的坐标代入得: 1= 9 2 +3a+2,解得: a= 1 2 , 则抛物线的解析式为y= 1 2 x 2+1 2 x+2; 存在点 P,ABP是以 AB为直角边的等腰直角三角形, (i )若以 AB为直角边,点 A为直角顶点, 则延长 CA至点 P1使得 P1A=CA ,得到等腰直角三角形ABP1,过点 P1作 P1M x 轴, 如图所示, AP1=CA ,MAP1=CAD ,P1MA= CDA=90 , AMP1ADC , AM=AD=2,P1M=CD=1, P1(1,1) ,经检验点 P1在抛物线 y= 1 2 x 2+1 2 x+2 上; (ii )
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