六年级奥数讲义列方程解应用题.pdf
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1、学习必备欢迎下载 第十讲列方程解应用题 小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多 少只猩猩, 管理员叔叔开心的答道: “头数加只数, 只数减头数, 头数乘只数, 只数除头数, 把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗? 呵呵!认真学习今天的好方法,你就可以准确、快速的解答出上面的问题了! 内容概述 在小学数学中,列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见 的数量关系为基础,通过分析题里的数量关系,根据四则运算的意义列式解答的。但是,两种解答方法的 解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同,用
2、算术方法解答应用题,时常要用逆向思考, 列式比较困难,解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题,由于引进了字母表示未知数,可以使 未知数直接参与运算,使题目中的数量关系更加清楚,把未知数当成已知数来用,使我们很容易理清数量 关系,正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时,用方程往往比较容易。 列方程解应用题的一般步骤是: 审清题意,弄清楚题目意思以及数量之间的关系,; 合理设未知数x,设未知数的方法有两种:问什么设什么(直接设未知数),间接设未知数; 依题意确定等量关系,根据等量关系列出方程; 解方程; 将结果代入原题检验。 概括成五个字就是: “审、设、列、解、验”. 列
3、方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是:根据题中“不 变量”找等量关系。 一些基本概念: (1)像 4x+2=9 这样的的等式,只含有一个未知数x,而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元 一次方程; (2)像 2x+y=8 这样的的等式,含有两个未知数x、y,而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元 一次方程;把两个二元一次方程用“”写在一起,就组成了一个二元一次方程组; (3)如果有两个未知数,一般需要两个方程才能求出唯一解,如果有三个未知数,一般需要三个 方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数,可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 学习必备欢迎下载 类型:列简
4、易方程解应用题 【例 1】 (清华附中培训试题) (难度系数:)解下列方程: (1)357xx(2)452xx (3)12(3)7xx(4)132(23)5(2)xx (5) 511 8()2 352 xx(6) 1 1 23 xx (7) 5 27 xy xy (8) 2311 329 xy xy 分析:(1) 375, 22,21.1 xx xxx 移项得:注意把“同类”放在等号的同侧,移项过程中注意变号; 化简得:等式两边同时除以可得:把代入原式满足等式 . 以下各题不再写检验步骤,请教师强调学生答案要检验. (2)2541 .xxx, (3)1 627 7730.xxxx, (4)13
5、4652 194719 7 41234.xxxxxxxx, - =, (5) 51115410410 110 4()410. 35236333333 xxxxxxxxxx , (6)3126 33263.xxxxx()-, 请教师强调学生在解答时要注意:移项变号、同类放在等式一边、(4)中去括号时每一项都要发生相 应变化、(6)中每一项都同时扩大6 倍、 (5)中可以先简化运算的一定要先化简。 (7)法 1:加减消元法(8) 51 272 212 13 2 3 xy xy x y x y ( ) ( ) ( )式- ( )式可得:, 代入( )式可得:, 所以 23111 3292 12153
6、, 1 . 1 3 xy xy yy x x y ( ) ( ) ( ) 3-( ) 2可得: 5, 将其代入( 1)式可得: 所以可得: 法 2:代入法 . 建议教师将( 7) 、 (8)贯穿起来,让学生深刻体会:( 1)代入法,以及代入法在什么情况下好用;(2) 加减消元法,其本质是找(制造)到一个未知数的系数相等,再利用等式加减得到结果. 【例 2】 (清华附中培训试题) (难度系数:)汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷, 驾驶员按一声喇叭,4 秒后听到回音,听到回音时汽车离山谷多远?(声音的速度以340 米/秒计算) 分析: 72 千米 /小时 =72000 米 /360
7、0 秒=2 米/秒,设听到回音时汽车离山谷x 米,根据题意可得: 3404=2x+24,解得 x=676(米) . 学习必备欢迎下载 【例 3】 (小数报数学竞赛初赛)(难度系数:)用绳子测井深,绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折 时,差 40 厘米,求绳长和井深? 分析:法 1:设井深是x 厘米,则有: 2x+602=3x-40 3 ,井深 x=240(厘米),绳长 600 厘米; 法 2:设绳长是y 厘米,则有: 11 y-60=y+40,y=600240 23 解得绳长(厘米),井深厘米 . 【例 4】 (奥数网习题库) (难度系数:)箱子里面有红、白两种玻璃球,红球数比白球数的3
8、倍多 两个,每次从箱子里取出7 个白球, 15 个红球如果经过若干次以后,箱子里只剩下3 个白球, 53 个红 球,那么,箱子里原有红球比白球多多少个? 分析:设取球的次数为x 次那么原有的白球数为(3+7x) ,红球数为( 53+15x) 再根据题中的第一个条 件: 53+15x=3( 3+7x)+2,解得 x=7,所以原有红球158 个,原有白球52 个,红球比白球多106 个此 题用逆向思维较难求解,但是用方程则思路非常清晰简单 【例 5】 (奥数网习题库) (难度系数:)小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩 耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩,管理员叔叔开心的答道:“头数加
9、只数,只数减头数,头数乘只 数,只数除头数,把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗? 分析:设动物园有x 只猩猩,依题意有: (x+x)+( x-x )+xx+xx=100,即 2x+0+ x x+1=100,亦即 x( x+2)=99,又整数,只有唯一解=9 【例 6】 (华杯赛复赛) (难度系数:)从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。 一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米,下坡时每小时行驶35 千米。车从甲地开往乙地需9 小时,从乙地到 甲地需 7.5 小时,问:甲乙两地公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路? 分析:从甲地到乙地的上坡路
10、,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的 上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米,下坡路为y 千米,依题意得 解得 x140,y=70,所以甲、乙两地间的公路有210 千米,从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路. 【例 7】 (华杯赛决赛) (难度系数:)幼儿园有三个班,甲班比乙班多4 人,乙班比丙班多4 人. 老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣, 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5 个枣,结果甲班比乙班总共多分了3 个枣,乙班比丙班总共多分了5 个枣,三个班总共分了多少个枣? 分析:法1:设甲班有x 人,则乙班有(x4)人,丙班有(x8)人
11、;甲班每人分得y 个枣,则乙班每 人分得( y+3)个,丁班每人分得(y+8)个那么有甲班共分得xy 个枣,乙班共分得(x-4)(y+3)枣,丙 学习必备欢迎下载 班共分得 (x-8)(y+8)个枣 8)8)(8( 3)3)(4( yxxy yxxy ,整理有 7 943 yx yx ,解得 12 19 y x 因此,甲班小孩19 人,每个小孩分枣12 个;乙班小孩15 人,每个小孩分枣15 个;丙班小孩11 人, 每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ,所以,三班共分673 个枣 法 2: 先看甲、丙两班,有甲班x 人比丙班x 人少分 8x 颗枣,而甲班共分得枣比
12、丙班多8 个,所以甲班多 出的 8 人共分得8x+8 颗枣,即每人分得x+1 颗枣那有 9 44 18 xx xx xx 丙班 乙班 甲班 每人枣数人数 再看乙、丙班,乙班x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣,而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣,所以乙班多 出的 4 人共分得5x+x 颗枣,即每人分得(5x+5) 4 颗枣有 (5x+5) 4x+4,解得 x11因此,甲班小 孩 19 人,每个小孩分枣12 个;乙班小孩15 人,每个小孩分枣15 个;丙班小孩11 人,每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ,所以三班共分673 个枣 类型:引入参数列方程解应用题 对于数量
13、关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些 “设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程 创造条件。 【例 8】 ( 101 中学分班考试试题)(难度系数:)五年级二班数学考试的平均分数是85 分,其中 3 2 的人得 80 分以上(含80 分),他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。 分析:设该班级有a名同学,低于 80分的人的平均分为x, 则得方程 : 21 8590 33 aaax,解得 x=75. 【例 9】 (华杯赛决赛) (难度系数:)有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆
14、车 接送, 甲班的学生坐车从学校出发的同时,乙班的学生开始步行,车到中途某处, 让甲班的学生下车步行, 车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫,两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4 千米, 载学生时车速为每小时40 千米,空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几? (学生上下车时间不计) 888 455 xyz xyz xyz 人数每人枣数共分枣数 甲班 乙班 丙班 学习必备欢迎下载 分析 :因为每班步行和坐车的行程总和一样长,又同时出 发,同时到达, 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都 相等。也就是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离 a 千米相等。
15、而根据题意我们又可以找到下列等量关系: 乙班步行 b千米 ( 也就是 a 千米 ) 所用的时间等于汽车 送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。 设全程为x 千米,甲、乙两班分别步行a、b 千米,根据题意得: 2 40504 1 7 xaxaa a x 解得: 所以甲班步行了全程的 1 7 . 由上例可以看出,列方程解应用题并不一定只设一个未知数,根据解题的需要,我们有时可以多设几 个字母来代替数,帮助我们理清题目中复杂的数量关系,以便我们能够很快的找到解决问题的途径。 【例 10】(小学奥林匹克决赛)(难度系数:)如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别 为 1
16、0 和 12,已知梯形的上底是下底长的 3 2 。那么余下的阴影部分的面积是多少? 分析:设上底为a2,那么下底为a3,则上下两个三角形的高分别为 aa h 10 2 210 1 , aa h 8 3 212 2 ,梯形的高是 aaa hh 18810 21 ,其面积为452 18 )32( a aa,阴影部分面积 为23121045。 类型:列不定方程解应用题 有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方 程称为不定方程。这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的,对于这部分内容我们是要和数论中的数的 整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求,有时只
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