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1、优秀学习资料欢迎下载 20132014 学年华师大八年级数学(上) 第 11 章数的开方 11.1 平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根。(也叫做二次方根) 即:若 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根。 2、平方根的性质: (1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;例如: 5 的平方根是5 (2)零的平方根是零;例如: 0的平方根是0 (3)负数没有平方根。例如: 1 没有平方根 二、算术平方根 1、算术平方根的定义:正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根。 2、算术平方根的性质: (1)一个正数的算术平方根只有一个为正;例如
2、: 3 的算术平方根是3 (2)零的算术平方根是零;例如: 0 的算术平方根是0,即0=0 (3)负数没有算术平方根;例如1没意义 (4)算术平方根的非负性:a 0。 (a0) 其中 a叫做被开方数。负数没有平方根,被开方数a 必须为非负数,即:a0。 三、开平方:求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。 四、立方根 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根。(也叫做三次方根) 即:若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根。 2、立方根的性质: (1)一个正数的立方根为正;例如: 2 的立方根是 3 2 (2)一个负数的立方根为负;例如: 2 的立方根是 33 2=
3、2 (3)零的立方根是零。即 3 0=0 3、立方根的记号: 3 a(读作:三次根号a) , a 称为被开方数, “3”称为根指数。 3 a中的被开方数a 的取值范围是:a 为全体实数。 五、开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。 六、注意事项: 1 取值问题 若3x有意义,则x 取值范围是。 ( x-30, x3) (填: x3) 若 32013 x有意义,则x 取值范围是。 (填:全体实数) 2、 33 aa。如:327 3 ,327 3 , 33 2727 3、 几个常见的算数平方根的值:414.12,732.13,236.25,449.26,646.27。 七、补充的部分内容 (
4、1)baab(a 0,b0) ;(2) b a b a (a0,b 0) ; (3) aa 2 )((a0) ; (4) | 2 aa 11.2 实数与数轴 一、无理数 1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数: 优秀学习资料欢迎下载 (1)开方开不尽的数。如:256710,2532617102,等。 (2) “”类的数。如:, 3 , 1 ,2等。 (3)无限不循环小数。如:2.1010010001 , -0.234242242224 ,等 二、实数 1、实数定义:有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概念: (1)相反数:实数a 的相反数为 - a。若实数a、b
5、互为相反数,则a+b=0。 (2)倒数:非零实数a 的倒数为 a 1 (a0) 。若实数a、b 互为倒数,则ab=1。 (3)绝对值:实数a 的绝对值为: )0( )0(0 ) 0( | aa a aa a 3、实数的运算:有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类: (1)按照正负性分为:正实数、零、负实数三类。 (2)按照定义分为:有理数和无理数统称为实数。 5、几个“非负数” : (1) a 2 0; (2) | a|0; ( 3) a0。 6、实数与数轴上的点是一 一对应 关系。 第 12 章整式的乘除 12.1 幂的运算 一、同底数幂的乘法 公式: ama n=
6、am+n( m、 n、均为正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 二、幂的乘方 公式: (am)n=amn(m、n 均为正整数) 。 幂的乘方,底数不变,指数相乘。 三、积的乘方 公式: (ab) n=anbn( n 为正整数)。 积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。 四、同底数幂的除法 公式: ama n=am-n(m、n 均为正整数, mn,a0) 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 12.2 整式的乘法 一、单项式与单项式相乘 法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到 最后结果中。 如: (-5 a 2b2) (
7、-4 b2c) (- 2 3 ab)=(-5)(-4) (- 2 3 ) ( a 2a)( b2b2) c =-30 a3b4c 二、单项式与多项式相乘 法则: (乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。 如: 22 ( 3)(21)xxx(-3 x 2) (- x2)+(-3 x2) 2 x 一(-3 x2) 1=432 363xxx 三、多项式与多项式相乘 法则: (1)将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。 如: ( m+n)( a+b)= ma+mb+na +nb (2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项
8、式的每一项,再按照单项式与多 优秀学习资料欢迎下载 项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。 如: ( m+n)( a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb +nb 12.3 乘法公式 一、两数和乘以这两数的差 1、公式: ( a+b)( a-b)= a 2- b2;名称:平方差公式。 2、注意事项: (1)a、b 可以是实数,也可以是代数式等。 (2)注意公式的本质特征:a 这项前后是一样的,但是b这项前后要互为相反数。 二、完全平方公式 1、公式: ( ab) 2=a2 2a b+b2;名称:完全平方公式。 2、注意事项: (1)a、b 可以是实数,也可以是代
9、数式等。 (2)注意公式中“中间的乘积项的符号及系数”。 3、补充公式: ( a+ b+ c) 2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca 特别提醒:利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是:“一看二套三计算” 。 12.4 整式的除法 一、单项式除以单项式 法则:单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中出现的字母, 则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如: -21 a 2b3c3ab=(-21 3) a2-1 b 3-1 c =-7 ab 2c 二、多项式除以单项式 法则:只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加。 如: (21 x 4
10、y3-35 x3y2+7x2y2)(-7 x2y)=21 x4 y 3(-7 x2y)-35 x3y2(-7 x2y)+ 7x2y2(-7 x2y)=-3 x2y2+5xy - y 整式的运算顺序:先乘方(开方),再乘除,最后加减,括号优先。 12.5 因式分解 一、因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。(分解因式) 因式分解与整式乘法互为逆运算 二、提取公因式法:把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的 方法叫做提公因式法。 公因式定义:多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 具体步骤:(1) “看” 。观察各项是否有公因式;
11、(2) “隔” 。把每项的公因式“隔离”出来;(3) “提” 。 按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。 (a-b) 2n=(b-a) 2n(n 为正整数 ); (a-b) 2n+1=- (b-a) 2n+1(n 为正整数 ); 如: 8a2b-4ab+2a =2a4ab- 2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1) ; - 5 a 2+25 a= - 5 aa+5a 5=- 5 a(a+5) (注意:凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“- ”号与公因式一并提出来。) 三、公式法:利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。 1、平方差公式:a 2- b2=( a
12、+b)( a-b) ;名称:平方差公式。 2、完全平方公式:( ab) 2=a22a b+b2;名称:完全平方公式。 四、综合 1、遇到因式分解的题目时,其整体的思维顺序是:(1)看首项是否含有“负号”,若有“一”,就要 注意提负号; (2)看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说;(3)没有公因式 时,就要考虑用乘法公式进行因式分解。 2、注意事项: (1)注意( a-b)与( b-a)的关系是互为相反数;(2)因式分解要彻底,不要只提出公 因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解;(3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范 围内分解,所以不能出现带根号的数。
13、第 13 章全等三角形 优秀学习资料欢迎下载 1、五种基本尺规作图 画角平分线 过已知点画垂线 画垂直平分线 画角 画线段 2、等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形所对的边也相等; 注意: 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。 3、角平分线: 性质:角平分线上的点到角两边的距离相等 判定:到一个角两边距离相等的点在角平分线上 4、垂直平分线:性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 判定:到线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 5、.全等三角形: 定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。表示方法
14、:ABC DEF 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 6、 三角形全等的判定: No.1 边边边(SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 No.2 角边角( SAS) :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.3 角边角( ASA ) :两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.4 角角边( AAS) :两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。 No.5 斜边,直角边(HL) :斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。 第 14 章勾股定理 14.1 勾股定理 一、直角三角形三边的关系 1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边
15、的平方。 几何语言:如图,在RtABC中, C=90 o, A、 B、 C所对的边分别是a、b、c 则有: a2+b 2=c2。 2、注意事项:假设两条直角边为a、 b,斜边为 c 已知两边,利用勾股定理可求第三边,常常使用变形公式 已知两条直角边a、b 求斜边 c:则 22 cab 已知一条直角边a 和斜边 c 求另一条直角边b,则 22 bca 已知一条直角边b 和斜边 c 求另一条直角边a,则 22 acb 勾股定理必须在Rt使用,若遇到非Rt,则可引垂线段“造”Rt。 注意 Rt中告诉的“直角”是哪个,以便准确确定“斜边”。 二、 Rt的判定 1、直角三角形的定义:有一个角为直角的三角
16、形叫做直角三角形。 2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:若ABC的三边 a、b、c 满足 a2+b 2=c2,则 C=90o。 “勾股数” :指三个满足a2+b 2=c2 的正整数,我们称为勾股数。 注意勾股定理的逆定理的应用,只要涉及三角形三边长的问题,都要判定一下是否为Rt。 三、反证法的步骤: 先 假结 论 的 反 面是 正 确 的 , 然 后 通 过推 理 证 明, 推 出 与 基 本 事 实 ,定 理 ,定 义, 或 已知条件相矛盾,说明假设不成立,从而得到原结论正确。 A C B c a b 优秀学习资料欢迎下载 14.2 勾股定理的应用 常见问题: 1
17、、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、 “到两个点的路程之和最短”等问题。 2、 “通过问题”。如“过门洞” 、 “路线穿过公园”等问题。 3、 “干扰问题”。如“台风影响” 、 “噪音影响”等问题。 4、阴影面积问题。 5、作图中的作2,3,5,13等问题。 15 数据的收集与表示 生活中的数据无处不在,当大量的数据呈现在我们面前时,我们要收集、整理、分析这些数据,从而为 我们的决策提供依据 频数:个体出现的次数总数:样本各个体出现的次数总和= 频数 频率 总数 调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段 1. 常见的统计图有:(1) 条形统计图 (2) 扇
18、形统计图 (3) 折线统计图 扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比, 条形图能准确地表示出每个项目的具体数目, 折线图能清楚地反映事物的变化趋势 2. 扇形统计图及其特点: (1) 扇形统计图是利用圆和扇形来表示和部分的比例关系, 即用圆表示 . 用扇形表示 ,扇形的大小反映 (2) 扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占 3 扇形中心角计算方法: (1) 扇形的中心角=360 0 . (2) 若已知扇形统计图, 用量角器量出每个扇形的读数 . (3) 部分占总体的百分比=100% 总体 . 4. 画扇形统计图的步骤 (1) ; (2) ; (3) 第十一章:数的开方 知识点内容
19、备注 优秀学习资料欢迎下载 知识点内容备注 幂 的 运 算 同底数幂的乘 法 同底数幂相乘,底数不变,指数相 加 逆用: = 幂的乘方幂的乘方, 底数不变,指数相乘逆用: 例: 积的乘法 积的乘方,把积的每一个因式分别 相乘,再把所得的幂相乘 = = 逆用: =1 同底数幂的除 法 同底数幂相处,底数不变,指数相 减 逆用 : 例:若 =2,则的值是 ? 整 式 的 乘 法 单项式与单项 式相乘 单项式与单项式相乘,只要将它们 的系数、 相同的字母的幂分别相乘, 对于只在一个单项式中出现的字 母,连同它的指数一起作为积的一 个因式 例: =3 2 (x)(y) = 单项式与多项 式相乘 单项式
20、与多项式相乘,将单项式分 别乘以多项式的每一项,再将所得 的积相加 例: (- 2 =(- 2+(- 2) =- 6+10 多项式与多项 式相乘 多项式与多项式相乘,先用一个多 项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项,再把所得的积相加 例: (X+2) ( X 3) = = 整 式 的 除 法 单项式除以单 项式 单项式相除,把系数、同底数幂分 别相除作为商的因式,对于只在被 除式中出现的字母,则连同它的指 数一起作为商的一个因式 例: 24 =(24) () () =8 多项式除以单 项式 多项式除以单项式,先用这个多项 式的每一项除以这个单项式,再把 所得的商相加 例: (9)(3x)
21、 =9 =3 乘 法 公 式 平方差公式两数和与这两数差的积,等于这两 数的平方差 例: (a+b)(a-b)= 逆用: =(a+b)(a-b) 两数和的平方 公式 两数和的平方,等于这两数的平方 和加上它们的积的2 倍 例: 逆用 两数差的平方 公式 两数差的平方,等于这两数的平方 和减去它们的积的2 倍 例: 逆用 平方根 概念 : 如果 一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a 的平方根 算术平方根 :正数 a的正的平方根。记作: 性质: 正数有两个平方根,它们互为相反数,0 的平方根 是 0,负数没有平方根 考点: ( a 的取值范围a) () (a 的取值范围为任意实数) = 例: =
22、() =5 =a(a 为任意实数 ) 例: =2, =2 立方根 概念: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a 的立方根 性质 : 任何实数的立方根只有一个,正数的立方根是正数, 负数的立方根是负数,0的立方根是0 (1)baab(a0,b0) ; aa 2 )((a0) ; 实数 1.包括 有理数 和无理数 2.实数与数轴上的点一一对应 常见的无理数 (无限不循环小数)有:开方开不尽 的数,如,等有规律且无限不循环的小数。 考点:判断下列的数哪些是无理 数? 有理数:分数和整数的统称 如: ,, 0 都是有理数 优秀学习资料欢迎下载 因式分解 定义:把一个多项式化为几个整式 的积的形式,
23、叫做多项式的因式分 解 因式分解的方法: 提公因式法 运用乘法公式法 十字相乘法 =(a+b)(a-b) 常考点: 两种因式分解法一起运用 (先提公因式,然后再运用公式法) 例: = “ 1”常常要变成“” 例: 第十三章:全等三角形 全 等 三 角 形 性质: 全等三角形的对应边和对应角相等 全等三角形的判定: 1. (边边边) S.S.S.:如果两个三角形的三条边都对应地相等, 那么这两个三角形全等。 2.(边、角、边)S.A.S.:如果两个三角形的其中两条边都对应 地相等,且两条边夹着的角都对应地相等,那么这两个三角形 全等。 3.(角、边、角)A.S.A.:如果两个三角形的其中两个角都
24、对应 地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,那么这两个三 角形全等。 4.(角、角、边)A.A.S.:如果两个三角形的其中两个角都对应 地相等,且对应相等的角所对应的边对应相等,那么这两个三 角形全等。 5.(斜边、直角边)H.L. :如果两个直角三角形中一条斜边和一 条直角边都对应相等,那么这两个三角形全等。 常考点: 公共边 公共角 两直线平行 (两直线平行, 同位角相等, 内错角相等,同旁内角互补) 对顶角(对顶角相等) 需要注意: 判定两直角三角形全等: 五个判定都可用, 特殊:斜边直角边 等 腰 三 角 形 等 腰 三 角 形 的 性 质 等腰三角形的两腰相等 等腰三角形的两底角
25、相等 等腰三角形“三线合一”(顶角的平分线,底边上 的中线,底边上的高重合) 等腰三角形是轴对称图形 ,只有一条对称轴 等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中 线相等,两条腰上的高相等) 考点: 若则说明 等腰三角形“三线合一” D BC A 1.若 AD 则 BD=BC, BAD= CAD 2.自己补充完整 判 定 定义法: 在同一三角形中,有两条边相等的三角形 是等腰三角形。 判定定理: 在同一三角形中,有两个角相等的三角 形是等腰三角形(简称:等角对等边 ) 。 线 段 的 垂 直 平 分 线 线段垂直平分线性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 EF ,AC=BC,
26、 点 D 是直线 EF 上任意一点 DA=DB 考点: C E A F B D 若直线 EF 是线段AB 的垂直平分线, 则: DA=DB 是等腰三角形,因此 具有等腰三角形的一 切性质 线段垂直平分线性质定理的逆定理: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 DA=DB 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上 角 平 分 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等 OP 平分 AOB ,且 PD,PE, PE=PD D E B O A P 优秀学习资料欢迎下载 线角平分线性质定理的逆定理: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 PD, PE 且 PE=PD OP 平分 A
27、OB 互逆命 题与互 逆定理 第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个 命题叫做 互逆命题。 每一个命题都有逆命题,但不是每个定理都有逆定理。 考点: 判断一个命题或定理的逆命题为真 为假 尺规 作图 五个基本的作图方法: 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作已知角的平分线 过一点作已知线段的垂线 作已知线段的垂直平分线 考点:综合考察,例如用尺规作图画直角 三角形,等腰三角形等等 等边三 角形 性质: 是特殊的等腰三角形,因此具有等腰三角形的一 切性质。(等腰三角形包括等边三角形,等腰大于等边) 等边三角形的三条边相等 等边三角形的三个角相等,都为60 判定:定义:三条边都相
28、等的三角形是等 边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三 角形 第十四章:勾股定理 知识点内容备注 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、 b、c 有关系 ,那么这 个三角形是直角三角形,且边 c 所对的角为直 角 反证法 步骤: 假设结论的反面是正确的 然后得出推理或定理与已知条件相矛盾 从而说明假设不成立,原结论正确 拓展 : 如果三角形的三边长a、b、c 有 关系,那么这个三角形不是直角 三角形,且边 c 所对的角不为直角 勾股定理的应用 (把实际问题转化为 数学问题) 常见的勾股数:3、4
29、、5 或 5、 12、13 或 6、8、 10、 路程最短问题:展开圆柱或者正方体,长方体的面积 航行问题已知直角三角形的两条边,求第三条边 第十五章:数据的收集与处理 知识点内容备注 频数、频率、总次数 频数:每个对象出现的次数 频率:每个对象出现的次数与总次数 的比值(或者百分比) 公式: 频率 =, 总次数 = 频率 = 频数 =总次数频率 考点拓展: 频数之和等于总次数 频率之和为1 频率 P 取值范围( 0P1) 频率可以表示为小数,分数, 或者百分数(必须统一) 弄清频数、频率、总次数 三者之间的关系,只其二必可算 出第三个 数据的表示 扇形统计图 考查各部分占总体大小的百分比 各部分的百分比之和等于或者 等于 1 各部分的百分比不等于1, 不能 用扇形统计图表示 条形统计图考查各部分具体数据各部分的具体数据为频数 折线统计图考查总体的变化趋势常运用于股市与气温的统计 b c a 优秀学习资料欢迎下载 综合考查 扇形统计图与条形统计图一起考,条形统计图的具体数据为频数,扇 形统计图的百分比为频率,从而可以根据公式计算出总次数 根据统计表,会制作条形统计图(单位值,间隔值要相等) 根据统计表,会制作扇形统计图(计算百分比和百分数) 扇形圆心角的度数=百分比 扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比
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