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1、第 10 章四边形 10.1 平行四边形与梯形 10.1.1如图 (a),在四边形ABCD 中, AC 、BD是对角线,已知ABC是等边三角形,30ADC, 3AD,5BD,求边 CD 的长 D A BC D A BC E (a) (b) 解析如图 (b),以 CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE,连结AE由于 ACBC , CDCE , BCDBCAACDDCEACDACE 所以BCDACE,从而BDAE 又 因 为30ADC,5BD,3AD, 于 是90ADE, 从 而 在RtADE中 , 22 4DEAEAD所以4CD 10.1.2在ABCD 中,2ABAD,F为AB中点,CEAD
2、 D交AD(或延长线)于E求证: 3BFEAEF 解析如图,取 CD 中点 G ,连结 FG 、 CF AFB E D G C 易知四边形ADGF 与 FGCB 均为菱形,FG 垂直平分CE ,于是EFGC FGC FB,于是 33BFEEFGAEF 10.1.3AD、BE、 CF 是ABC的三条中线,FGBE, EGAB,四边形 ADCG 是平行四边形 解析如图,连结EF,则EF是中位线 AG F E BDC 由条件知 EGBF,故 EGAF,于是 AGEFCD,故结论成立 10.1.4延长矩形ABCD 的边 CB 到E,使 CECA ,F是AE的中点,求证:BFFD 解析如图,取BD中点
3、G ,连结 FG ,则 1111 2222 FGADBECECABD ,于是BFFD AD BC AD F G EBC 题10.1.4 题10.1.5 10.1.5菱形 ABCD 中,23BDAC,120BAD,求菱形的面积 解析如图,易知ABC与ACD均为正三角形 设菱形边长为x,则由120BAD,得3BDx , ACx ,所以3123x , 31 2 x,因 此菱形面积为 2132 33 224 BDACx 10.1.6在梯形ABCD 中, ADBC,中位线 MN 分别交AB、 CD 、 AC 、BD于M、 N 、P、 Q , 若延长 AQ 、DP的交点正好位于BC 上,求 BC AD A
4、D M Q P N BR C 解析设 AQ 、DP延长后交于R,且R在 BC 上,则由中位线知2ADPQ ,2ADPN ,2BCQN , 故2 BC AD 10.1.7四边形ABCD 中,135ABC,120BCD,6AB,53BC,6CD,求AD 解析如图所示,作AFBC , DEBC 分别交 BC 所在直线于F、E,作 FGAD交DE于 G , 则AFB为等腰直角三角形,90AFB,6AB,故3FBA F;90DEC,60DCE, 6CD,故3CE,3 3DE F BC E A D G 所以 EFFBBCCE35338, 3 332 3GEDEDGDEAF 从而 22 2 19ADFGEF
5、EG 10.1.8已知ABC中,90A,D是 BC 上一点,D关于AB、 AC 的对称点分别为F、E, 若 BECF , 1 2 ADBC 解析如图,连结AF、AE、BF、 CE F A E B D C 由对称,有22180FADEADBADCAD,故F、A、E共线 又180BFEFECADBADC,故FBEC ,而 BECF ,所以梯ECBF 为等腰梯形又 AFADAE,于是 11 22 ADEFBC 10.1.9将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点,证明:如果所得到的四个像点 也形成四边形,则必为一个梯形 B C AD BC AD O 解析如图, ADBC,A、B、 C 、
6、D关于对应对角线的对称点分别为A、B、 C 、D 设 AC 、BD交于 O ,连结A O 、B O 、 C O 、D O 则A OB =AOBCODC OD , 故A、O 、C 共线,且 AOAO C OCO , 同理B、O 、D共线, B O D O BO DO , 所以由1 BOCO DOAO 得1 B OC O D OAO 故如A、B、 C 、D不位于同一直线上,则AD B C ,即AB C D成 梯形 10.1.10已知:直角梯形ABCD , ADBC, ABBC , ABBC ,E是AB上一点,AEAD, 75CEB,求ECD A D E BC 解析如图,连结AC ,则由 ABBC
7、, ABBC ,得45BACDAC 又AE AD,故AEC ADC , EC CD 又180754560DEC,故DEC为正三角形,于是60ECD 10.1.11在四边形ABCD 中,60A,90BD,2AB,1CD,求 BC 、AD和BD的 长 A B C E D 解析如图,延长 AD、 BC 至E,则 60DCE,22CECD 又60A,故2 3BE,2 32BC,又4AE,3CE,故43AD 至于求BD,有多种方法,如勾股定理或余弦定理,也可用A、B、 C 、D四点共圆的性质: 2 2 22 322 52 3AC,sin60156 3BDAC 10.2 正方形 10.2.1 在 正 方
8、形 ABC D中 ,E为 BC 的 中 点 ,F为 CD 上 的 点 , 且 AFBCC F 求 证 : 2BAFBAE AD B E C F P 解 析如 图 ,延 长AE、DC, 设交 于P, 则B EC E得CPABBC, FPFCCPFCBCAF 于是BAEPFAP,即2BAFBAE 10.2.2正方形边长等于1,通过它的中心引一条直线,求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方 和的取值范围 A M D O N BC l 解析如图,设 O 是正方形ABCD 的中心, l 通过 O ,AM、 DN 分别与 l 垂直于M、 N 由于90MAOAOMDON , AOOD ,故AMOOND, 2
9、22221 2 AMDNAMMOAO 对B、 C 的垂线也有类似结论,因此所求距离的平方和是常数1 10.2.3正方形ABCD 的对角线交于 O , BAC 的平分线交BD于 G ,交 BC 于F,求证: 2 CF OG 解析如图,作 OEFC,交AF于E, OE 为ACF中位线,2CFEO 问题变为证明EOGO 因为么4545GEOOAFFAFOGE ,于是结论成立 AD E O G B F C 10.2.4设M、 N 分别为正方形ABCD 的边AD、 CD 的中点,且 CM 与 BN 交于P,求证:PAAB 解 析如 图 , 由 MDCN 知BNCCMD, 故9 0PB CP C BN C
10、 MP C B , 故 C MBN延长 CM 、BA,设交于 Q ,则 QACDAD ,A为直角三角形QPB 斜边 BQ 之中点,于 是AP AB Q A D M B C N P 题10.2.4 10.2.5已知两个正方形ABCD 、AKLM(顶点均按照顺时针方向排列),求证:这两个正方形的中心和 BM、DK的中点组成一个正方形 题10.2.5 M A Q B P C D R S LK 解析如图,设 DB、BM、MK、KD的中点分别为P、 Q 、R、 S 由于DAAB,AKAM,90DAMBAMBAK , 于是DAMBAK, 由此得KB与DM 垂直且相等由于 1 2 SRDMPQ, 1 2 S
11、PKBRQ,故四边形 PQRS 为正方形 10.2.6M是正方形ABCD 内一点,若 2 22 2 AB MAMB,90CMB,求MCD 解析如图,作 MNAB 于 N ,则 2 2222 , 2 , AB ANBNAMBM ANBNAB A D B L C M N 解得 3 4 ANAB , 1 4 BNAB 不妨设3AN,3BN, MNx ,则 2 222 9(4)DMANADMNx, 2 222 ()14CMBNCMMNx, 由条件90CMD,知 222 DMCMCD ,即 2 102 416x,解得43x 又作 MLBC 于L,于是43LCx,1MLNB,故60MCDLMC 10.2.
12、7 O 是正方形ABCD 的两对角线的交点,P是BD上异于 O 的任一点,PEAD于E,PFAB 于F, G 是 EO 的延长线和BC 的交点,求OFG C GB O P F DEA 解析如图,易知AFEPED,AODO ,45FAOEDO , 于是AFODEOBGO, 于是 OFOG ,90AOBFOG ,故OFG为等腰直角三角形,45OFG 10.2.8 K是 正 方 形 ABCD的 边AB的 中 点 , 点L分 对 角 线 AC 的 比 为:3AL LC, 证 明 : 90KLD 解析连结BL,由正方形关于AC 对称,知BLDL 又作 LJAB于 J ,由3ALLC ,易知 11 42
13、JBABKB ,故 J 为KB中点, JL 垂直平分KB,于是 LKLB,LKBLBKADL,或180AKLADL,故90KLD A ED F P O BGC 10.2.9已知ABC,向外作正方形ABEF和 ACGH 直线AK垂直 BC 于K,反向延长交FH于M, 求证:M是FH的中点 解析如图,作 FQ 、HP分别与直线KA垂直,垂足为Q 、P P H M F Q A E BKC G 易见,90QFAQAFBAK ,又90FQAAKB ,FAAB,故有AQFBKA, FQAK ,同理PHAK,于是 FQPH ,FMMH 10.2.10已知:正方形ABCD 中,E、F分别在 BC 、 CD 上
14、, AGEF于 G 若45EAF,求证: AGAB 反之,若AGAB ,则45EAF 解析如图,延长CB 至H,使BHDF,连结AH,则AHBAFD,90HAFBAD, 904545HAEEAF ,又AHAF,AEAE,故AHEAFE,AB、 AG 为其对应 边上的高,于是AGAB A D F G HBEC 反 之 , 若 AGAB , 则 RtABE RtAGE ,EAGBAE , 同 理 ,FAGDAF , 于 是 1 45 2 EAFBAD 10.2.11在梯形ABCD 中, ADBC( BC AD),90D,12BCCD,E在边 CD 上, 45ABE,若10AE,求 CE 的长 解析
15、延长DA至M,使BMBE过B作 BGAM , G 为垂足易知四边形BCDG 为正方形,所以 BCBG 又CBEGBM , RtBEC RtBMG,故BMBE 又45ABEABM,故ABEABM,10AMAE 设 CE x ,则 10AG x , 12102ADx x, 12DE x 在 RtADE中, 222 AEADDE,故 22 100212xx,即 2 10240xx,解之,得 1 4x, 26x故 CE 的长为 4 或 6 D E CB AGM 10.2.12在正方形ABCD 的边 BC 上任取一点M,过 C 作 CQDM 于 Q ,且延长交AB于 N ,设正 方形对角线的交点为O ,连结 OM 、 ON ,求证: OMON 解析如图,易知MDCNCB ,故DMCCNB,故 NBMC ,又45NBOOCM , BOCO ,于是ONBOMC,90NOMBOC AD BCM Q O N 10.2.13四边形ABCD 是正方形,四边形ACEF 是菱形,E、F、B在一直线上求证:AE、AF 三等分CAB 解析如图,作BM、 FN 与 AC 垂直,垂足为M、 N ,于是由ABBF知 11 22 FNBMACAF , 于是30FAC又45CAB,于是15BAF,15FAECAE,AE、AF三等分CAB AD B C M N F E
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