《信号与系统》习题集及答案.pdf
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1、第 1 页 共 37页 信号与系统习题集及答案 (注:教材 -郑君里编) 习题一 1-7 绘出下列各信号的波形: (1) ) 4 sin()()(t T Ttutu ; (2) ) 4 sin()2()(2)(t T TtuTtutu 1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图: (1) )()2()(tuetf t ; (2) )()63()( 2 tueetf tt ; (3) )()55()( 3 tueetf tt ; (4) )2()1()10cos()(tututetf t 。 T 0 图 1 T 0 2T 图 2 第 2 页 共 37页 1-10 写出题图1-10(a) 、 (b) 、
2、 (c)所示各波形的函数式。 图a: 11 ( )(2)(2)( )(2)( )(2) 22 f ttu tu ttu tu t (1)(2)(2) 2 t u tu t 图 b: )2() 1()()(tutututf 图 c: )()()sin()(Ttutut T Etf 1-12 绘出下列各时间函数的波形图,注意它们的区别: ( 1 ) )1()(tutut ;( 2) ) 1(ttu ;( 3 ) )1()1()(tututut ; 0 图 1 1 2 图 2 9 0 0 1 ln3 2 图 3 0 1 2 图 4 0 1 2 3 t 2 1 (b) E T t (c) f(t) 0
3、 t (a) f(t) 1 2 -2 题图 1-10 第 3 页 共 37页 ( 4 ) )1()1(tut ;( 5 ) )1()()1(tutut ; (6) )3()2(tutut ;(7) )3()2()2(tutut ; 1-4 对于下图所示信号,由f(t)求 f(-3t-2) ,但改变运算顺序,先求f(3t) 或先求 f(-t),讨论 所得结果是否与原书中的结果一致。 方法一: 方法二: 0 1 t 图 1 1 0 1 图 4 t 图 3 t 1 0 1 1 0 1 图 2 t 0 1 t 图 5 2 0 1 图 6 t 3 2 3 2 0 1 图 7 t 3 1 -1 -2 1
4、t 1 f(t) -1/3 -2/3 1/3 t 1 f(3t) -2/3 1 1 0 f3(t-2/3)=f(3t-2) -2/3 1 t f(-3t-2 ) t 第 4 页 共 37页 由图可看出所得结果与书中一致。 1-14 应用冲激信号的抽样特性,求下列表示式的函数值: (1) )()()( 00 tfdttttf ; (2) )()()( 00 tfdttttf ; (3) 1) 2 () 2 ()( 00 0 t udt t tutt ; (4) 0)()2()( 000 tudtttutt ; (5) 2)2()( 2 edttte t ; (6)2 1 66 sin 6 ) 6
5、 ()sin(dtttt ; (7) 0 1)()( 0 tjtj edtttte ; 1-15 电容 C1与 C2串联,以阶跃电压源 v(t)=Eu(t) 串联接入,试分别写出回路中的电流i(t)、 每个电容两端电压vc1(t)、vc2(t)的表示式。 电路如图: 回路总电容 21 21 cc cc C 电路电流 )( )( )( 21 21 tE cc cc dt tdu Cti c )()( 1 )( )()( 1 )( 21 1 2 2 21 2 1 1 tu cc Ec dtti c tv tu cc Ec dtti c tv c c 1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因
6、果的? (1) dt tde tr )( )( ; t 2 -1 1 f(-t) -2 -3 t f - (t+2)=f(-t-2) t f(-3t-2) -2/3 -1 v(t)=Eu(t) i(t) C1 C2 VC1(t) VC2(t) + _ + _ + _ 第 5 页 共 37页 (2) )()()(tutetr ; (3) )()(sin)(tutetr ; (4) )1()(tetr ; (5) )2()(tetr ; (6) )()( 2 tetr ; (7) t detr)()( ; (8) t detr 5 )()( 。 解:线性系统满足齐次性和叠加性;时不变系统的参数不随
7、时间 而变化,即:在同样起始状态下,系统响应与激励施加于系统的时刻 无关;因果系统在t0时刻的响应只与t=t0与 t2 的响应为零,试确定值应等于多少 解: (1) )2()()()()()( 2 tutuetuetethtr tt )2()( 2 ttue t )2()2()()()( )2(2)( 0 2 0 2)(2 tuedtueuedtueue tt tt t )2()()( 2 0 )2(2 0 tuetudetudee t t t t 当 20t时, tt t t eedeetr 2 0 )( 当 2t时, )2(2)2( )1()1()( tttt eeeetr )1( 242
8、 eee t (2) )2()()2()()()()()()( 22 ttuetututxtuetethtr tt )2( )2()()()()()( )2(2 02 )(2)(2 tue duxtueduxtue t tt tt )2()2()()()( )2(2 02 )(2)(2 tuetudxetudxe t tt tt 由题意有,当 2t时, 0)(tr )2()2()()()(r(t) )2(2 02 )(2)(2 tuetudxetudxe t tt tt 0)2()( )2(2 2 0 )(2 tuedxe tt dxee)( 2 0 24 第 20 页 共 37 页 2-23
9、 化简下列两式: (1) ) 2 1 2( 2 t ; 令 0 2 1 2)( 2 ttf 则: 2 1 t 2 1 21 t 2)(f2)( 2 1 ttf ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 4 1 ( 2 1 )( )( 1 ) 2 1 2( 2 2 1 2 ttttt tf t i i i (2) )(sin t 。 令 2,1,0,(k0sinktt ) - )k-(t(sint) 2-27 试求下列各值,设系统起始状态为零: (1) )(t p A (2) )( )( 2 t p A (3) )( )( t pp A 解: (1) )()(tuAet p At (2) )()
10、( 0 )( )( )( 22 tuAtet pp A t p At (3) )( )( t pp A )()()() 11 (tuee A t pp Att 信号与系统习题答案(注:教材-郑君里编) 习题三 3-23-2周期矩形信号如题图3-2 所示。 若: 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。 解:直流分量 2 2 2 2 3 0 1105)( 1 vEdtdttf T a T T 第 21 页 共 37 页 f(t)为偶函数, 0 n b )( 2 cos)( 22 2T n Sa T E tdtntf T an )( 2 1 T n Sa T E aF nn 基波 1 a
11、)1 .0s i n ( 20 )( 2 T Sa T E 有效值 39.11.0sin 2 20 2 1 a 二次谐波有效值 32.1 2 2 a 三次谐波有效值 21.1 2 3a 3-53-5求题图 3-5 所示半波余弦信号的傅立叶级数。若E=10V ,f=10kHz ,大致画出幅 度谱。 10 )( 1 2 2 0 T T E dttf T a dttntf T tdtntf T a T T T n 2 2 2 0 cos)( 4 cos)( 2 ) 1( 2 ) 1( sin ) 1( 2 ) 1( sin 2 n n n n T E )2 , 4 ,(n 2 cos )n-(1 2
12、E )3,5,(n0 1)(n5 2 2 n E 第 22 页 共 37 页 )4cos( 15 4 )2cos( 3 4 cos 2 )(ttt EE tf E aC 00 )2,4,(n) 2 cos( )n-(1 2E )3,5,(n0 1)(n5 2 n aC nn 3-9 求题图 3-9 所示周期余弦切顶脉冲波的傅立叶级数,并求直流分量 0 I 以及基波和k 提示: cos1 cos)cos( )( 1t iti m ,1为 )(ti 的重复角频率 解: )(ti 为偶函数, 0 n b 2 20 1 0 1 )cos1( )cos(sin cos1 cos)cos(2 )( 1 T
13、 T m m i dt t i T dtti T a dttn t i T dttnti T a m T T n )cos( cos1 cos)cos(4 )cos()( 2 1 0 1 2 2 1 傅里叶级数:1 10 )cos()( n n tnaati (1)任意值 第 23 页 共 37 页 直流分量: )cos1( )cos(sin 00 m i aI 基波: )c o s1( )c o ssi n( 11 m i aI k 次谐波: )cos1)(1( sin)cos(cos)sin(2 2 kk kkki aI m kk (2) 60 直流分量: m iaI22.0 00 基波:
14、 m m i i aI39.0 )60cos1 ( )60cos60sin 3 ( 11 k 次谐波: )1( ) 3 cos3 3 (sin2 )cos1)(1( sin)cos(cos)sin(2 22 kk k k k i kk kkki aI m m kk (3) 90 直流分量: m i aI 00 基波: 2 11 m i aI k 次谐波: )1( 2 cos2 2 k k i I m k 3-3 3-3若周期矩形信号 )( 1 tf 和 )( 2 tf 波形如题图3-2 所示, )( 1 tf 的参数为 s5.0 , sT1 ,E=1V ; )( 2 tf 的参数为 s5.1
15、, sT3 ,E=3V,分别求: (1) )( 1 tf 的谱线间隔和带宽(第一零点位置),频率单位以kHz 表示; (2) )( 2 tf 的谱线间隔和带宽; (3) )( 1 tf 和 )( 2 tf 的基波幅度之比; (4) )( 1 tf 基波与 )( 2 tf 三次谐波幅度之比。 解: ( 1) )( 1 tfs5.0sT1 E=1V 第 24 页 共 37 页 谱线间隔: khZ T 1000 1 带宽: KHzB f 2000 1 (2) )( 2 tfs5.1sT3 E=3V 间隔: khZ T3 10001 谱线带宽: KHzBf 3 20001 (3) )( 1 tf 基波
16、幅度: 2 ) 2 cos( 4 2 0 1 dtt T E T a )( 2 tf 基波幅度: 6 ) 2 cos( 4 2 0 1 dtt T E T a 幅度比: 1:3 ( 4) )( 2 tf 三次谐波幅度: 2 ) 2 3cos( 4 2 0 3 dtt T E T a 幅度比: 1:1 3-12 如题图 3-12 所示周期信号 )(tvi 加到 RC 低通滤波器电路。已知 )(tvi 的重复频率 kHz T f1 2 1 ,电压幅度E=1V ,R=1k,C=0.1 F。分别求: ( 1)( 1)稳态时电容两端电压之比直流分量,基波和五次谐波之幅度; ( 2)( 2)求上述各分量与
17、 )(tvi 相应分量的比值,讨论此电路对各频率分量响应的 特点。 (提示:利用电路课所学正弦稳态交流电路的计算方法分别求各频率分量之响应。) 解: 25.0 4 21 )( 1 2 0 2 0 0 E tdt T E T dttv T a TT i ) T 2 ()c o s( 22 11 2 0 dttnt T E T a T n 2 0 1 1 2 )sin( 14 T tntd nT E 第 25 页 共 37 页 1)1( 4 1 222 n nT E 1)-2m(n n 2 2m)(n0 22 ) 2 ()sin( 22 2 0 11 T n T dttnt T E T b n n
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