历年中考数学动点问题专集(全)【含答案】.pdf
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1、1 中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、 射线或弧线上运动 的一类开放性题目 .解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静 . 数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“ 对称、 动点 的运动 ” 等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自 主探究能力,促进培养学生解决问题的能力 图形在 动点的
2、运动过程中观察图形的变化情况, 需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解 决数学 “ 动点” 探究题的基本思路 ,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题 的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲:(1)运动 观点;( 2)方程思想;( 3)数形结合思想;( 4)分类思想;( 5)转化思想等研究历年 来各区的压轴性试题, 就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向
3、,它有利于我 们教师在教学中研究对策,把握方向只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教 育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存 在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题三:双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体,运动变 化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题. 这类题综合性强,能力要求高, 它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中 2 以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析, 供 读者欣赏 . 1 以双动点为载
4、体,探求函数图象问题 例 1 (2007 年杭州市 )在直角梯形 ABCD 中, C=90 ,高 CD=6cm( 如图 1). 动点 P, Q 同时从点 B 出发,点 P 沿 BA,AD,DC 运动到点 C 停止,点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止, 两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点 P 到达点 A 时,点 Q 正好到达点 C. 设 P,Q 同时从 点 B 出发,经过的时间为t(s)时,BPQ 的面积为 y(cm)2( 如图 2). 分别以 t,y 为横、纵坐 标建立直角坐标系, 已知点 P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时,y 与 t 的函数图象是图 3 中的线 段 MN. (
5、1)分别求出梯形中 BA,AD 的长度; (2)写出图 3 中 M,N 两点的坐标; (3)分别写出点 P 在 BA 边上和 DC 边上运动时,y 与 t 的函数关系式 (注明自变量的取值 范围),并在图 3 中补全整个运动中y 关于 x 的函数关系的大致图象 . 评析 本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一 起,二者相辅相成,给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参 数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高 与 t 的函数关系式,建立起y 与 t 的函数关系式,进而根据函数关系式补充函数图象. 2
6、 以双动点为载体,探求结论开放性问题 例 2 (2007 年泰州市 )如图 5,RtABC 中,B=90 ,CAB=30 .它的顶点 A 的坐标 为(10,0),顶点 B 的坐标为 (5,53),AB=10 ,点 P 从点 A 出发,沿 ABC的方向匀速 运动,同时点 Q 从点 D(0,2)出发,沿 y 轴正方向以相同速度运动,当点P 到达点 C 时, 两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒. (1)求BAO 的度数 . (2)当点 P 在 AB 上运动时, OPQ 的面积 S(平方单位 )与时间 t(秒)之间的函数图象为 抛物线的一部分, (如图 6),求点 P 的运动速度 . (3)求(2
7、)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点 P 的坐标 . (4)如果点 P,Q 保持(2)中的速度不变,那么点P 沿 AB 边运动时, OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大;沿着BC 边运动时, OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小,当点P 沿这两边运动时,使 OPQ=90 的点 P 有几个 ?请说明理由 . 解 (1)BAO=60 . (2)点 P 的运动速度为 2 个单位 /秒. 评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、 有梯度也有区分度,是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为 2
8、, 然后建立 S 与 t 的函数关系式,利用函数的性质解得问题 (3).本题的难点是题 (4), 考生要从题目的信息中确定建立以B 为直角顶点的三角形,以B 为临界点进行分类讨论, 进而确定点的个数问题 . 3 以双动点为载体,探求存在性问题 例 3 (2007 年扬州市 )如图 8,矩形 ABCD 中,AD=3 厘米, AB=a 厘米(a3).动点 M, N 同时从 B 点出发,分别沿 BA ,BC 运动,速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB, 分别交 AN,CD 于 P,Q.当点 N 到达终点 C 时,点 M 也随之停止运动 .设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米,
9、t=1 秒,则 PM=厘米; (2)若 a=5 厘米,求时间 t,使 PNBPAD,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中, 存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等, 求 a 的取值 范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形 PQDA,梯 3 形 PQCN 的面积都相等 ?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体, 矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、 层层递进, 将几何与代数知识完美的综合为一题,侧重对相似和梯形面积等知识点的考查,本题的难点 主要是题 (3),解决此题的关键是运用相似三角形的性质
10、用t 的代数式表示 PM,进而利用梯 形面积相等列等式求出t 与 a 的函数关系式,再利用t 的范围确定的 a 取值范围 . 第(4)小题 是题(3)结论的拓展应用,在解决此问题的过程中,要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体,探求函数最值问题 例 4 (2007 年吉林省 )如图 9,在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上的两个动点,它们分别从点A、C 同时出发,沿对角线以1cm/s 的相同速度运动,过E 作 EH 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 H; 过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 G, 连结 HG、EB.
11、设 HE、EF、FG、GH 围成的图形面积为,AE、EB、BA 围成的图形面 积为这里规定:线段的面积为0).E 到达 C,F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s), 解答下列问题: (1)当 0AD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系 不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的 长度,可以尝试换几个位置量一量,得出结论(C) 例 5:如图,过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的 D C B A E D CB A O F E O C B A 26 直径 CA 和非直径的弦 CD,延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点B、E,则下列结论
12、中正 确的是(* ) (A) ABDE (B) ABDE (C) ABDE (D) ABDE, 的大小不确定 分析:本题可以通过度量的方法进行,选(B) 本题也可以可以证明得出结论,连结DO、EO,则在三角形OED 中,由于两边之差 小于第三边,则 OEODDE,即 OBOADE,因此 EDAB ,即 ABDE 三、建立联系,计算说明 例 6:如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,且 DM=1,N 为对角线 AC 上任意一点,则 DN+MN 的最小值为. 分析:能否将 DN 和 NM 进行转化,与建立三角形两边之和 大于第三边等问题,很自然地想到轴对称问题,由于ABCD
13、 为 正方形, 因此连结 BN, 显然有 ND=NB, 则问题就转化为 BN+NM 的最小值问题了,一般情况下: BN+NM BM,只有在 B、N、M 三 点 共 线 时 , BN+NM=BM , 因 此DN+MN的 最 小 值 为 BM= 5 22 CMBC 本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大 于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值, 最后通过勾股定理计算得出结论。 例 7:如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边 BC=4,OABC 于 O,点 E 和点 F 分别 在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合,点 E 不与 B、A
14、 重合。 判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化,若变化,求其变化范围,若 不变化,求它的值 . AEF 的面积是否随着点E、F 的变化而变化,若变化,求其变化范围,若不变化, 求它的值。 (即例 3 的第 2、第 3 问) 分析: (2)本题的方法很多,其一,可以建立四边形 AEOF 与 AE长 的 函 数 关 系 式 , 如 设AE=x , 则 AF= x22 , 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积之比 = x 22 ,而三角形 AOB 的面积 = 2 2 1 OAOB ,则三 角形 AOE 的面积 = 2 x ,同理三角形 AOF 的面积 = 2 22x ,
15、因此四边形 AEOF 的面积 = 2 2 )22(xx ;即 AEOF 的面积不会随点E、F 的变化而变化,是一个定值,且 为 2. 当然, 本题也可以这样思考, 由于三角形 AOE 与三角形 COF 全等, 则四边形 AEOF 的面积与三角形 AOC 的面积相等, 而 AOC 的面积为 2,因此 AEOF 的面积不会随点 E、 F 的变化而变化,是一个定值,且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的 M N D C B A F E O C B A 27 C BP D A Q 方法应用比较广泛 . 第 (3) 问 , 也 可 以 通 过 建 立 函 数 关
16、 系 求 得 , AEF的 面 积 = 1)2( 2 1 )22( 2 12 xxx ,又 x 的 变化 范围 为 220x ,由二 次 函 数 知 识得 AEF 的面积的范围为 : 0 AEF 的面积 1. 本题也可以根据三角形AEF 与三角形 OEF 的面积关系确定AEF 的面积范围 : 不难证明AEF 的面积OEF 的面积,它们公用边EF,取 EF 的中点 H,显然由于 OEF 为等腰直角三角形,则OHEF,作 AGEF,显然 AGAH=AG (= EF 2 1 ), 所以AEF 的面积OEF 的面积,而它们的和为2,因此 0 AEF 的面积 1. 本题包容的内涵十分丰富,还可以提出很多
17、问题研究: 比如,比较线段 EF 与 AO 长度大小等(可以通过A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的 圆上得出很多结论) 例 8:如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果 、同时出发,用t 秒表示移动的时间( 0 t 6),那 么: (1)当 t 为何值时,三角形 QAP 为等腰三角形? (2)求四边形 QAPC 的面积,提出一个与计算结果有关 的结论; (3)当 t 为何值时,以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相似?
18、分析:( 1)当三角形 QAP 为等腰三角形时,由于 A 为直角,只能是AQ=AP,建 立等量关系, tt62 ,即 2t 时,三角形 QAP 为等腰三角形; (2) 四边形 QAPC 的面积 =ABCD 的面积三角形 QDC 的面积三角形 PBC 的面积 = 6)212( 2 1 12 2 1 612xx =36,即当 P、Q 运动时,四边形 QAPC 的面积不变。 (3)显然有两种情况: PAQABC, QAPABC, 由相似关系得 6 12 6 2 x x 或 12 6 6 2 x x ,解之得 3x 或 2.1x 建立关系求解,包含的内容多,可以是函数关系,可以是方程组或不等式等,通过
19、解 方程、或函数的最大值最小值,自变量的取值范围等方面来解决问题;也可以是通过一 些几何上的关系,描述图形的特征,如全等、相似、共圆等方面的知识求解。 作为训练同学们可以综合上述方法求解: 练习 1:2003 年广州市中考压轴题(全卷得分最低的一道) 已知ABC 为直角三角形, AC=5,BC=12,ACB 为直 角,P 是 AB 边上的动点(与点A、B 不重合), Q 是 BC 边 上动点(与点 B、C 不重合) Q P C B A 28 (1) 如图,当 PQAC,且 Q 为 BC 的中点,求线段 CP 的长。 当 PQ 与 AC 不平行时,CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能,求出线段C
20、Q 的长的 取值范围;若不可能,请说明理由。 第 1 问很易得出 P 为 AB 中点,则 CP= 2 13 2 1 AB 第 2 问:如果CPQ 为直角三角形,由于PQ与 AC 不 平行,则 Q 不可能为直角 又点 P 不与 A 重合,则 PCQ 也不可能为直角,只能 是CPQ 为直角,即以 CQ 为直径的圆与AB 有交点,设 CQ=2x,CQ 的中点 D 到 AB 的距离 DM 不大于 CD, AB DB AC DM ,即 13 12 5 xDM ,所以 13 )12(5x DM ,由 xCD x DM 13 )12(5 ,即 3 10 x ,而 6x ,故 6 3 10 x ,亦即 12
21、3 20 CQ 时,CPQ 可能为直角三角形。 当然还有其它方法。同学们可以继续研究。 练习 2: (广东省 2003年中考试题最后一题) 在 RtABC 中,ABAC,BAC90, O 为 BC 的中点, (1)写出点 O 到ABC 的三个顶点A、B、C 距离的大小关 系。 (2)如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,移动中保持 ANBM,请判断 OMN 的形状,并证明你的结论。 该题与例 3 类似,同学们可以仿 本大类习题的共性: 1代数、几何的高度综合(数形结合);着力于数学本质及核心 内容的考查 ;四大数学思想:数学结合、分类讨论、方程、函数 2以形为载体,研究数量关系;通过
22、设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数 值 D Q M C B A 29 五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却 与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类 问题方法巧妙,耐人寻味。 例 1. 在Rt ABC中,AC 5,BC 12,ACB 90,P是 AB边上的动点(与点 A、B不重 合), Q是 BC边上的动点(与点B、C不重合),当 PQ与 AC不平行时, CPQ 可能为直角 三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03 年广 州市中考) 分析:
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- 含答案 历年 中考 数学 问题 专集 答案
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