初中数学的中点模型地构造及的应用.pdf
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1、实用标准文档 精彩文案 中点模型的构造及应用 一、遇到以下情况考虑中点模型: 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点,可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点,我们可以挖掘其中隐含中点,比如等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中 点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心,它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 (一)倍长中线法(构造全等三角形,八字全等) 当已知条件中出现中线时,常常将此中线
2、倍长构造全等三角形解决问题。 如图, 在ABC中, D为 BC中点, 延长 AD到 E使 AD=DE , 连接 BE , 则有:ADC EDB 。作用:转移线段和角。 (二)倍长类中线法(与中点有关线段,构造全等三角形,八字全等) 当已知条件中出现类中线时,常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问 题。 如图, 在ABC中, D为 BC中点, 延长 ED到 F使 ED=DF , 连接 CF , 则有:BED CFD 。作用:转移线段和角。 实用标准文档 精彩文案 (三)直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时,常构造直角三角形斜边中线, 然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决
3、问题。 如 下 图 , 在RtABC 中 ,A C B9 0, D 为AB 中 点 , 则 有 : 1 2 CDADBDAB (四)等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时,常隐含有底边中点,将其与顶角连接,可构成三线 合一。 在ABC中:(1) AC=BC ;(2) CD平分ACB;(3) AD=BD ,(4)CDAB “知二得二”:比如由( 2) (3)可得出( 1) (4). 也就是说,以上四条语句,任 意选择两个作为条件,就可以推出剩下两条。 (五)中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时,常考虑构造中位线; 或出现一个 中点,要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
4、如图,在ABC中,D,E分别是 AB 、AC边中点,则有DEBC, 1 DEBC 2 =。 三、练习 (一)倍长中线法 1. (2014 秋? 津南区校级期中) 已知:在 ABC 中,AD是 BC边上的中线, E是 AD上一点,且 BE AC ,延长 BE交 AC于 F,求证: AFEF 实用标准文档 精彩文案 2. (2017? 湘潭) 如图,在 ? ABCD 中,DE CE ,连接 AE并延长交 BC的延长线 于点 F (1)求证: ADE FCE ; (2)若 AB 2BC ,F36求 B的度数 3.(2017 江西萍乡, 15)如图,在 ABC中,CD是 AB边上的中线, E是 CD的
5、中 点,过点 C作 AB的平行线交 AE的延长线于点 F,连接 BF (1)求证: CF AD ; (2)若 CA CB ,试判断四边形CDBF 的形状,并说明理由 4.(2014? 鄂尔多斯) 如图 1,在? ABCD 中,点 E是 BC边的中点,连接 AE并延 长,交 DC的延长线于点 F且 AEC 2ABE 连接 BF、AC (1)求证:四边形 ABFC 的是矩形; (2)在图 1 中,若点 M是 BF上一点,沿 AM折叠 ABM ,使点 B恰好落在线段 DF上的点 B处(如图 2) ,AB 13,AC 12,求 MF的长 实用标准文档 精彩文案 5. (2017? 贵阳,24 ) (1
6、)阅读理解:如图,在四边形ABCD 中,AB DC ,E是 BC的中点,若 AE是BAD的平分线,试判断AB ,AD ,DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法: 延长 AE交 DC的延长线于点 F, 易证AEB FEC , 得到 AB FC ,从而把 AB ,AD ,DC转化在一个三角形中即可判断 AB 、AD 、DC之间的等量关系为 _ ; (2)问题探究:如图,在四边形ABCD 中,AB DC ,AF与 DC的延长线交于点 F,E是 BC的中点,若 AE是BAF的平分线,试探究AB ,AF ,CF之间的等量关 系,并证明你的结论 (3)问题解决:如图, AB CF ,AE与 BC交于
7、点 E,BE :EC 2:3,点 D在线 段 AE上,且EDF BAE ,试判断 AB 、DF 、CF之间的数量关系,并证明你的结 论 (二)倍长类中线法 1.(2016 秋? 江都区期中) 已知:如图,E是 BC的中点,点 A在 DE上,且BAE CDE 求证: AB CD 实用标准文档 精彩文案 2. (2017? 重庆, 24)在ABM中, ABM 45,AM BM ,垂足为 M ,点 C 是 BM延长线上一点,连接AC (1)如图 1,若 AB3 2 ,BC 5,求 AC的长; (2)如图 2,点 D是线段 AM上一点, MD MC ,点 E是ABC外一点, EC AC , 连接 ED
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