希尔伯特公里体系简介.pdf
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1、实用标准文案 精彩文档 希尔伯特公理体系 希尔伯特 (Hilbert,公元 18621943) 在历代数学家所积累的极其丰富的公理资料基础上,德国数学家 希尔伯特 (Hilbert, 公元 18621943)完成了几何学的基础构造工作。 他于 1899年出版名著 几何基础,建立了几何学完善的公理体系 “希尔伯特公理体系” 。 希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上,基本概念 由两部分组成:一部分是几何学研究对象(也称基本元素 ), 如点、线、 面等;另一部分是元素间的基本关系,如结合关系、合同关系等。公 理共有 5 组 20 条。希尔伯特公理体系满足他自己提出的三个基本要 求,即相容性
2、(公理间互不矛盾) 、独立性(每条公理都不能从其余 的公理推出)、完备性(公理体系所有模型都是互相同构的)。 基本元素: 点,线,面。 基本关系: 结合关系(如点在直线上,直线在面上等),顺序关 实用标准文案 精彩文档 系(如一点在两点之间,一射线在两射线之间等),合同关系(如两 线段合同,两角合同等) 基本公理: 、结合公理 8 条 几何基本元素 “点” 、 “直线” 、 “平面”之间的结合关系就是:“点 在直线上”可以说成“直线通过点或直线含有点或点属于直线”;点 和平面也有这种关系,结合公理要求满足8 条公理: (1)通过不同两点必有一条直线。 (2)通过不同两点的直线至多有一条。 (3
3、) 每一条直线上至少有两点; 至少有三点不在同一条直线上。 (4)通过不共线的三点必有一个平面;每一个平面上至少有一 点。 (5)至多有一个平面通过不共线的三点。 (6)若一直线有不同两点在某个平面上,则该直线上所有点都 在这平面上。 (7)若两个平面有一个公共点,则至少还有一个公共点。 (8)至少有四个点不同在一个平面上。 、顺序公理 4 条 直线上的点与点之间有一种“介于”关系,通常用“介于之 间”的语言来表示。“介于”关系表示点与点之间的“顺序关系”,它 们必须满足 4 条顺序公理。 (1)若点B介于两点 A、C之间,则A、B、C是同一直线上的 实用标准文案 精彩文档 三个不同点,并且
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