人教版数学八年级培优和竞赛教程10、分式的运算.pdf
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1、10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 a b c d ac bd ; a b c d a b d c ad bc 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: 取各分母系数的最小公倍数; 凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 a c b c ab c (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 () a
2、b a b n n n ( n 为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有 重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 【分类解析】 例 1:计算 xx xx xx xx 2 2 2 2 2 6 6 2 的结果是() A. x x 1 3 B. x x 1 9 C. x x 2 2 1 9 D. x x 2 2
3、1 3 分析: 原式 ()() ()() ()() ()() xx xx xx xx 21 32 32 21 ()() ()() ()() ()() ()() ()() xx xx xx xx xx xx x x 21 32 21 32 11 33 1 9 2 2 故选 C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例 2:已知abc1,求 a aba b bcb c acc111 的值。 分析: 若先通分,计算就复杂了,我们可以用abc替换待求式中的“1” ,将三个分式化 成同分母,运算就简单了。 解: 原式 a aba ab abcaba abc abcabcab1 a aba ab aba
4、 abc aab aab aba 111 1 1 1 例 3:已知:250mn,求下式的值: ()()11 n m m mn n m m mn 分析: 本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分 子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一 个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:()()11 n m m mn n m m mn m mnn mnm m mn m mnn mnm m mn n m mn m mn n mn mn ()() () ()() () () () 250 5 2 mnmn 故原式
5、 5 2 5 2 nn nn 7 2 3 2 7 3 nn 例 4:已知 a、b、c 为实数,且 ab ab bc bc ca ca 1 3 1 4 1 5 ,那么 abc abbcca 的值是多少? 分析: 已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化。 解: 由已知条件得: 11 3 11 4 11 5 abbcca , 所以2 111 12() abc 即 111 6 abc 又因为 abbcca abccba 111 6 所以 abc abbcca 1 6 例 5:化简:() x x x x x x 322 1 2 1 2 4 1 解一: 原式 ()()()()
6、()() ()()xxxx xx xx x 32 1212 22 22 1 xxx x xxxx x xxxxxxxx x xxxxxx x xxx 432 4232 22 322 32 324 1 311 1 1131111 1 13331 1 244 ()()() ()()()()()() ()() 解二: 原式 ()()()()()()()()xxx x xx x xx x xx x 11 2 22 1 11 2 22 1 2 ()()()()xxxxx xxxxxxx xxx 2 3222 32 1212 22232 244 说明:解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中
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