数列知识点总结与题型归纳总结.pdf
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1、让学习成为一种习惯! 1 高三总复习 -数列 一、数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 n a,在数列第一个位置的项叫第1 项(或首项),在第二个位 置的叫第2 项,序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 na; 数列的一般形式: 1 a, 2 a, 3 a, n a,简记作 n a。 例:判断下列各组元素能否构成数列 (1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010 年各省参加高考的考生人数。 (2)通项公式的定义:如果数列 n a的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就 叫这个数列的
2、通项公式。 例如: 1 ,2 ,3 ,4, 5 , : 5 1 4 1 3 1 2 1 1, 数列的通项公式是 n a= n(n7,nN) , 数列的通项公式是 n a= 1 n (nN ) 。 说明: n a表示数列, n a表示数列中的第n项, n a= fn表示数列的通项公式; 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如, n a= ( 1) n = 1,21( ) 1,2 nk kZ nk ; 不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4 ,1.41 ,1.414 , (3)数列的函数特征与图象表示: 序号: 1 2 3 4 5 6 项:4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对
3、应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看, 数列 实质上是定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列 函数值(1), (2),(3),fff,( )f n,通常用 n a来代替fn,其图象是一群孤立点。 例:画出数列12nan的图像 . (4)数列分类:按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关 系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。 例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3, 4,5,6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,
4、(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a, (5)数列 n a 的前n项和 n S与通项 n a的关系: 1 1 (1) (2) n nn Sn a SS n 例:已知数列 n a的前 n项和32 2 nsn,求数列 n a的通项公式 让学习成为一种习惯! 2 练习: 1根据数列前4 项,写出它的通项公式: (1)1,3, 5,7; (2) 2 21 2 , 2 31 3 , 2 41 4 , 2 51 5 ; (3) 1 1*2 , 1 2*3 , 1 3*4 , 1 4*5 。 (4)9,99,999,9999 ( 5)7,77,777,7777, (6
5、)8, 88, 888, 8888 2数列 n a中,已知 2 1 () 3 n nn anN (1)写出 , 1 a, 2 a, 3 a,1na , 2 n a; (2) 2 79 3 是否是数列中的项?若是,是第几项? 3 (2003 京春理14,文 15)在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白(_)内。 4、由前几项猜想通项: 根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式. 5. 观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10 条直线相交,交点的个数最多是() ,其通项公式 为
6、 . A40 个 B45 个 C50 个 D 55 个 2条 直 线 相 交,最多有1 个交点 3 条 直 线 相 交,最多有3 个交点 4 条 直 线 相 交,最多有6 个交点 ( 1)(4) (7) () () 让学习成为一种习惯! 3 二、等差数列 题型一 、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这 个 数 列 就 叫 等 差 数 列 , 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 , 公 差 通 常 用 字 母d表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 1 (2) nn aad n或 1 (1) nn aad n。 例:等差数
7、列12nan, 1nn aa 题型二 、等差数列的通项公式: 1 (1) n aand; 说明:等差数列(通常可称为A P数列)的单调性:d0为递增数列,0d为常数列,0d为递减数列。 例: 1. 已知等差数列 n a中, 12497 116aaaa,则,等于() A15 B 30 C 31 D 64 2. n a是首项 1 1a,公差3d的等差数列,如果2005 n a,则序号n等于 (A) 667 (B)668 (C)669 (D)670 3.等差数列12, 12nbna nn ,则 n a为 n b为(填“递增数列”或 “递减数列” ) 题型三 、等差中项的概念: 定义:如果a,A,b成
8、等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中 2 ab A a,A,b成等差数列 2 ab A即: 21 2 nnn aaa( mnmnn aaa2) 例: 1(14 全国 I ) 设 n a是公差为正数的等差数列,若 123 15aaa, 123 80a a a, 则 1 11 21 3 aaa() A120 B105C90 D75 2. 设数列 na是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是() A1 B.2 C.4 D.8 题型四 、等差数列的性质: (1)在等差数列 n a中,从第2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 n a中,相隔等距离
9、的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列 n a中,对任意m,nN,() nm aanm d, nm aa d nm ()mn; (4)在等差数列 n a中,若m,n,p,qN且mnpq,则mnpq aaaa; 题型五 、等差数列的前n和的求和公式: 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snadn d a)( 2 n 2 1 1 2 。 (),( 2 为常数BABnAnSn n a是等差数列 ) 递推公式: 2 )( 2 )()1( 1 naa naa S mnm n n 例: 1. 如果等差数列 n a 中, 345 12aaa,那么 127 .aaa ( A)14 ( B
10、)21 ( C)28 (D)35 让学习成为一种习惯! 4 2. (2015 湖南卷文)设 n S是等差数列 n a的前 n 项和,已知 2 3a, 6 11a,则 7 S等于 ( ) A13 B35 C49 D 63 3. (2015 全国卷理)设等差数列 n a的前n项和为 n S,若 9 72S, 则 249 aaa= 4. (2015 重庆文)(2)在等差数列 n a中, 19 10aa,则 5 a的值为() (A)5 ( B)6 (C) 8 (D)10 5. 若一个等差数列前3 项的和为34,最后 3 项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有() A.13 项B.12 项C
11、.11 项D.10 项 6. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,若 1185212 21aaaaS,则 7. (2014 全国卷理)设等差数列 n a的前n项和为 n S,若 53 5aa则 9 5 S S 8 (2014 全国)已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=100. ()求数列bn的通项bn; 9. 已知 n a数列是等差数列,10 10 a,其前 10 项的和70 10 S,则其公差d等于 ( ) 3 1 3 2 BA C. 3 1 D. 3 2 10. (2015 陕西卷文)设等差数列 n a 的前 n 项和为 n s , 若 63 12as , 则 n
12、a 11 (2013 全国)设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7 7,S15 75,Tn为数列 n Sn 的前n项和,求Tn。 12. 等差数列 n a的前n项和记为 n S,已知5030 2010 aa, 求通项 n a;若 n S=242,求n 13. 在等差数列 n a中, (1)已知 8121 48,168,SSad求和; (2)已知 6588 10,5,aSaS求和;(3) 已知 31517 40,aaS求 让学习成为一种习惯! 5 题型六 . 对于一个等差数列: (1)若项数为偶数,设共有 2n项,则S偶S奇nd; 1 n n Sa Sa 奇 偶 ; (2)若项数为
13、奇数,设共有 21n 项,则 S奇S偶 naa中 ; 1 Sn Sn 奇 偶 。 题型七 . 对与一个等差数列, nnnnn SSSSS 232 ,仍成等差数列。 例: 1. 等差数列 an的前m项和为 30,前 2m项和为 100,则它的前3m项和为() A.130 B.170 C.210 D.260 2. 一个等差数列前n项的和为48,前 2n项的和为60,则前 3n项的和为。 3已知等差数列 n a的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为 4. 设 n S为等差数列 n a的前n项和, 97104 3014SSSS,则,= 5 (2015 全国 II )
14、设Sn是等差数列an的前n项和,若 3 6 S S 1 3 ,则 6 12 S S A 3 10 B 1 3 C 1 8 D 1 9 题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法: 定义法: )常数)(Nndaa nn ( 1n a是等差数列 中项法: )2 21 Nnaaa nnn ( n a是等差数列 通项公式法: ),(为常数bkbknan n a是等差数列 前n项和公式法: ),( 2 为常数BABnAnSn na是等差数列 例: 1. 已知数列 n a满足2 1nn aa,则数列 n a为 () A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列
15、n a的通项为52nan ,则数列 n a为 () A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3. 已知一个数列 n a的前 n项和42 2 nsn,则数列 n a为() A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4. 已知一个数列 n a的前 n项和 2 2nsn,则数列 n a为() A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 让学习成为一种习惯! 6 5. 已知一个数列 n a满足02 12nnn aaa,则数列 n a为() A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列
16、D.无法判断 6. 数列 n a满足 1 a=8,022 124nnn aaaa,且(Nn) 求数列 n a的通项公式; 7 (14 天津理, 2)设Sn是数列 an的前n项和,且Sn=n 2,则 an是() A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 题型九 . 数列最值 (1) 1 0a,0d时,nS有最大值; 1 0a,0d时,nS有最小值; (2) n S最值的求法:若已知 n S, n S的最值可求二次函数 2 n Sanbn的最值; 可用二次函数最值的求法(nN ) ;或者求出 n a中的正、负分界项,即
17、: 若已知 n a,则 n S最值时n的值(nN)可如下确定 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 。 例: 1等差数列 n a中, 1291 0SSa,则前项的和最大。 2设等差数列 na的前n项和为n S,已知0012 13123SSa, 求出公差d的范围, 指出 1221 SSS,中哪一个值最大,并说明理由。 3 (12 上海)设an (nN *)是等差数列, Sn是其前n项的和,且S5S6,S6S7S8,则下列结论错误 的 是() A.d0 B.a70 C.S9 S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 让学习成为一种习惯! 7 4已知数列 n a的通项 99 9
18、8 n n (Nn ) ,则数列 n a的前 30 项中最大项和最小项分别是 5. 已知 n a是等差数列,其中131a,公差8d。 ( 1)数列 n a从哪一项开始小于0? ( 2)求数列 n a前n项和的最大值,并求出对应n的值 6. 已知 n a是各项不为零的等差数列,其中 1 0a,公差0d,若 10 0S, 求数列 n a前n项和的最大 值 7. 在等差数列 n a中, 1 25a, 179 SS,求 n S的最大值 题型十 . 利用 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 求通项 1. 数列 n a的前n项和 2 1 n Sn (1)试写出数列的前5 项; (2)数列n
19、a是等差数列吗?(3)你能写出数 列 n a的通项公式吗? 让学习成为一种习惯! 8 2已知数列 na 的前n项和,14 2 nnSn 则 3. 设数列 n a的前 n 项和为 Sn=2n 2,求数列 n a的通项公式; 4. 已知数列 n a中,3 1 a前n和1)1)(1( 2 1 nn anS 求证:数列 n a是等差数列 求数列 n a的通项公式 5. (2015 安徽文)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn,则 8 a的值为() (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D) 64 等比数列 等比数列定义 一般地, 如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常
20、数,那么这个数列就叫做等比数 列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(0)q,即: 1n a :(0) n aq q。 一、递推关系与通项公式 mn mn n n nn qaa qaa aa 推广: 通项公式: 递推关系: 1 1 1 q 1 在等比数列 n a中,2,4 1 qa,则 n a 2 在等比数列 n a中, 3 7 12,2aq, 则 19 _.a 3. (2014 重庆文)在等比数列an 中,a28,a164, ,则公比q 为() ( A)2 (B)3 (C)4 (D)8 4.在等比数列na中, 2 2 a ,545a,则8a= 让学习成为一种习惯! 9 5. 在
21、各项都为正数的等比数列 n a中,首项 1 3a,前三项和为21,则 345 aaa() A 33 B 72 C 84 D 189 二、等比中项:若三个数cba,成等比数列,则称b为ca与的等比中项,且为acbacb 2 ,注:是成等 比数列的必要而不充分条件. 例: 1.23和23的等比中项为( ) ()1A( )1B()1C()2D 2.(2013 重庆卷文) 设 n a是公差不为0 的等差数列, 1 2a且 136 ,a aa成等比数列, 则 n a的前n项 和 nS=() A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 三、等比数列的基本性质, 1
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