高中数学第一章学案含解析新人教A版选修29.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 一名游客从沈阳出发去长沙游玩,已知从沈阳到长沙每天有7 个航班、 6 列火车 问题 1:该游客从沈阳到长沙的方案可分几类? 提示:两类,即乘飞机、坐火车 问题 2:这几类方案中各有几种方法? 提示:第 1 类方案 (乘飞机 )有 7 种方法,第2 类方案 (坐火车 )有 6 种方法 问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示:共有7613 种不同的方法 1完成一件事有两类不同的方案,在第1 类方案中有m种不同的方法,在第2 类方案 中有n种不同的方法,那么完成这件事共有Nmn
2、种不同的方法 2完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第 2 类方案 中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事共有N m1m2mn种不同的方法 1分类加法计数原理中各类办法相互独立,各类办法中的各种方法也相互独立,用任 何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2要清楚“完成一件事”的含义,即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么 3分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类. 分步乘法计数原理 一名游客从沈阳出发去长沙游玩,但需在北京停留, 已知从沈阳到北京每天有7 个航班, 从北京到长
3、沙每天有6 列火车 问题 1:该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤? 提示:两个,即先乘飞机到北京,再坐火车到长沙 问题 2:完成每一步各有几种方法? 提示:第 1 个步骤有7 种方法,第2 个步骤有6 种方法 问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示:共有7642 种不同的方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1完成一件事需要两个步骤,做第1 步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方 法,那么完成这件事共有Nmn种不同的方法 2完成一件事需要n个步骤,做第1 步有m1种不同的方法,做第2 步有m2种不同的 方法, , 做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有N
4、m1m2mn种不同 的方法 1分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步,各个步骤相互依存,完不成其中任 何的一步都不能完成这件事,只有当各个步骤都完成之后,才能完成该事件 2要清楚“完成一件事”的含义,即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么 3分步时,首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准,标准不同,分的步骤数也 会不同 分类加法计数原理 某校高三共有三个班,各班人数如下表. 男生数女生数总数 高三 (1)班302050 高三 (2)班303060 高三 (3)班352055 (1)从三个班中选1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三 (1)班、 (
5、2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长,有 多少种不同的选法? (1)从三个班中选1 名学生任学生会主席,共有三类不同的方案: 第 1 类,从高三 (1)班中选出1 名学生,有50种不同的选法; 第 2 类,从高三 (2)班中选出1 名学生,有60种不同的选法; 第 3 类,从高三 (3)班中选出1 名学生,有55种不同的选法 根据分类加法计数原理知,从三个班中选1 名学生任学生会主席,共有 50 6055165 种不同的选法 从高三 (1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长,共有 三类不同的方案: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣
6、风萧萧整理 (2)第 1 类,从高三 (1)班男生中选出1 名学生,有30种不同的选法; 第 2 类,从高三 (2)班男生中选出1 名学生,有30 种不同的选法; 第 3 类,从高三 (3)班女生中选出1 名学生,有20 种不同的选法 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生 任学生会生活部部长,共有30 302080 种不同的选法 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 若x,yN *,且 xy6,试求有序自然数对(x,y)的个数 解:按x的取值进行分类: x1 时,y1,2,3,4,5 ,共构成5个有序自然数对; x2 时,y1,2,3,4,
7、共构成4 个有序自然数对; x5 时,y1,共构成 1 个有序自然数对 根据分类加法计数原理,共有N5 432 115 个有序自然数对. 分步乘法计数原理 从 1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数 (1)三位数有三个数位: 百位十位个位 故可分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从1,2,3,4中选 1 个数字,有4 种方法; 第 2 步,排十位,从剩下的3个数字中选1 个,有 3 种方法; 第 3 步,排百位,从剩下的2个数字中选1 个,有 2 种方法 根据分步乘法计数原理,共有43224个满足要求的三位数 (2)分三
8、个步骤完成: 第 1 步,排个位,从2,4中选 1 个,有 2 种方法; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 2 步,排十位,从余下的3个数字中选1 个,有 3 种方法; 第 3 步,排百位,只能从余下的2 个数字中选1 个,有 2 种方法 根据分步乘法计数原理,共有23212个满足要求的三位偶数 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 一个口袋里有5 封信,另一个口袋里有4 封信,各封信内容均不相同 (1)从两个口袋里各取1 封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的9 封信,分别投入4 个邮筒,有多少种不同的投法? 解:(1)各取 1封信, 不论从哪个口袋里取,都不能算完成
9、了这件事,因此应分两个步骤 完成,由分步乘法计数原理知,共有5 420 种不同的取法 (2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑,第1封信投入邮筒有4种可能,第2 封信仍有4 种可能第9 封信还有4 种可能,所以共有49种不同的投法. 两个计数原理的综合应用 王华同学有课外参考书若干本,其中有5 本不同的外语书,4 本不同的数学书,3 本 不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读 (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,则有多少种不同的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各1 本,则有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选2 本不同学科的参考书带到图书馆,则有多少种不同的带法? (1)完成的
10、事情是带一本书,无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都已完成, 从而确定应用分类加法计数原理,结果为54 312(种) (2)完成的事情是带3 本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选1 本后, 才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为54360(种) (3)选 1 本外语书和选1 本数学书应用分步乘法计数原理,有5 420 种选法;同样, 选外语书、物理书各1 本,有 5315 种选法;选数学书、物理书各1 本,有 4312 种 选法即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为2015 1247(种) 在用两个计数原理处理问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚
11、“分 类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则,在“分步”时 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 要正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性 有一项活动,需在3 名老师、 8名男同学和5 名女同学中选部分人员参加 (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师、一名同学参加,有多少种不同的选法? 解: (1)有三类: 3 名老师中选一人,有3 种方法; 8 名男同学中选一人,有8 种方法; 5 名女同学中选一人,有5 种方法 由分类加法计数原理知,有38516种选法 (
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