高考数学填空题压轴题精选3.pdf
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1、第1页 (共17页) 江苏高考压轴题精选 1. 如图为函数( )(01)f xxx的图象,其在点( )M tf t,lly处的切线为, 与轴和直线1y分别 交于点 P、Q,点 N(0,1) ,若PQN 的面积为b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 . 解: 2. 已知 A: 22 1xy, B: 22 (3)(4)4xy,P 是平面内一动点,过 P 作A、B 的 切线,切点分别为D、E,若PEPD,则 P 到坐标原点距离的最小值为 . 解:设)(yxP,因为PEPD,所以 22 PDPE,即14)4()3( 2222 yxyx,整 理得:01143yx,这说明符合题意的点P 在直线
2、01143yx上,所以点)(yxP,到 坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143yx的距离,为 5 11 3. 等差数列 n a各项均为正整数, 1 3a,前n项和为 n S,等比数列 n b中, 1 1b,且 22 64b S, n b 是公比为64 的等比数列求 n a与 n b; 解: 设 n a的公差为d, n b的公比为q,则d为正整数, 3(1) n and, 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 (1) 22 642 (6)64 n n nd ad nd a b q q bq S bd q 由(6)64d q知q为正有理数,故d为6的因子 1,2,3,6 之一, 解得
3、2,8dq故 1 32(1)21,8 n nn annb 4. 在ABC中,2BCACAB (1)求 22 ACAB的值; y x O P M Q N 第2页 (共17页) (2)求ABC面积的最大值 解: (1)因为| |2BCACAB uuu ruuu ruuu r ,所以42 22 ABABACAC, 又因为2AB AC uuu r uuu r ,所以 22 8ABAC uuu ruuu r ; (2)设|ABcACbBCa uuu ruuu ruuu r ,由( 1)知8 22 cb,2a, 又因为 bcbcbc acb A 2 2 28 2 cos 222 , 所以AbcAbcS A
4、BC 2 cos1 2 1 sin 2 1 = 22 2222 4 2 1 cb cbcb34) 2 ( 2 1 2 22 cb , 当且仅当cba时取 “=”,所以ABC的面积最大值为3 5. 设等差数列 n a的公差为d,0d,数列 n b是公比为q等比数列,且 11 0ba (1)若 33 ab, 75 ab,探究使得 nm ab成立时nm与的关系; (2)若 22 ab,求证:当2n时, nn ba. 解: 记aba 11 ,则 1 ,)1( m mn aqbdnaa,1分 (1)由已知得 2 4 2 6 adaq adaq , , 消去d得 42 32aqaqa, 又因为0a,所以0
5、23 24 qq,所以21 22 qq或,5 分 若1 2 q ,则0d,舍去; 6 分 若2 2 q,则 2 a d,因此 1 2 )1( m mn aq a naba 1 2 1 1 m q n , 所以12 2 1m n(m是正奇数)时, mn ba;8 分 (2)证明:因为0, 0 ad,所以11 1 2 1 2 a d a da a a b b q,11分 2n时, 1 ) 1( n nn aqdnaba=dnqa n )1()1( 1 =dnqqqqa n ) 1()1)(1( 22 dnnqa) 1() 1)(1(=0)(1()1() 1( 22 bandqan 所以,当 nn
6、ban时,2. 16 分 6. 已知圆 O: 22 1xy,O 为坐标原点 (1)边长为2的正方形ABCD 的顶点 A、B 均在圆 O 上,C、D 在圆 O 外,当点 A 在圆 O 上运 动时,C 点的轨迹为E ()求轨迹E 的方程; ()过轨迹E 上一定点 00 (,)P xy作相互垂直的两条直线 12 ,ll,并且使它们分别与圆O、轨迹 E 相交,设 1 l被圆 O 截得的弦长为a,设 2 l被轨迹 E 截得的弦长为b,求ab的最大值 (2)正方形 ABCD 的一边 AB 为圆 O 的一条弦,求线段 OC 长度的最值 O D C B A y x 1 1 1 1 第3页 (共17页) 解:
7、(1) ()连结OB,OA,因为 OA=OB=1,AB=2,所以 222 ABOBOA, 所以 4 OBA,所以 3 4 OBC,在OBC中,52 222 BCOBBCOBOC, 所以轨迹E 是以 O 为圆心,5为半径的圆, 所以轨迹E 的方程为5 22 yx ; ()设点O 到直线 12 ll,的距离分别为 12 dd, 因为 21 ll,所以 22222 1200 5ddOPxy, 则 2 2 2 1 5212ddba, 则)5)(1(2)(64)( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ddddba 4 2 6 2)(6 2 2 2 1 2 2 2 1 dd dd= 22 12 4122(
8、)dd =4(12 10)8, 当且仅当 22 12 22 12 5, 15, dd dd ,即 2 2 2 1 9 , 2 1 , 2 d d 时取 “=”, 所以ba的最大值为2 2; (2)设正方形边长为a,OBA,则cos 2 a ,0, 2 当 A、B、C、 D 按顺时针方向时,如图所示,在OBC中, 22 12 cos 2 aaOC , 即 2 (2cos)12 2cossinOC 2 4cos12sin 2 2cos 22sin 232 2sin 23 4 , 由2, 444 ,此时(1,21OC; 当 A、B、C、 D 按逆时针方向时,在OBC中, 22 12 cos 2 aa
9、OC, 即 2 (2cos)12 2cossinOC 2 4cos12sin 2 2cos 22sin 232 2sin 23 4 , 由2, 444 ,此时21,5)OC, 综上所述,线段 OC 长度的最小值为21,最大值为21 x O D B A 1 1 1 1 C y x O D B A 1 1 1 1 C y 第4页 (共17页) 7. 已知函数( )1ln()f xxax aR. (1)若曲线( )yf x在1x处的切线的方程为330xy,求实数a的值; (2)求证:0)(xf恒成立的充要条件是1a; (3)若0a,且对任意1 ,0, 21 xx,都有 12 12 11 |()()|
10、4 |f xf x xx ,求实数a的取值范围 . 第5页 (共17页) 另解:04 2 axx在1 ,0x上恒成立,设4)( 2 axxxg,只需 0, 3 0 041) 1( 04)0( a a ag g . 8. 已知函数 2 ( )3,( )2f xmxg xxxm. (1)求证:函数( )( )f xg x必有零点; (2)设函数( )G x( )( )1f xg x ()若|( ) |G x在1,0上是减函数,求实数m的取值范围; ()是否存在整数,a b,使得( )aG xb的解集恰好是 ,a b ,若存在,求出,a b的值; 若不存在,说明理由 . 第6页 (共17页) 第7页
11、 (共17页) 9. 已知函数( ) 1 a x x ,a为正常数 . (1)若( )ln( )f xxx,且 9 2 a,求函数( )f x的单调增区间; (2)若( )| ln|( )g xxx,且对任意 12 ,(0,2x x, 12 xx,都有 21 21 ()() 1 g xg x xx ,求a 的的取值范围 . 解: ( 1) 2 22 1(2)1 ( ) (1)(1) axa x fx xxx x , 9 2 a,令( )0fx,得2x,或 1 2 x, 函数( )f x的单调增区间为 1 (0,) 2 ,(2,). ( 2) 21 21 ()() 1 g xg x xx , 2
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