山东省全国高中数学联合竞赛试题(山东卷).pdf
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1、山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛(及答案) 一. 填空题 ( 本题共 5 道小题 ,每小题 8 分, 满分 40 分 ) 1. 函数 ( )1232f xxx 的最大值是 _ ; ( 王泽阳供题 ) 解 :( )12322 2f xxx, 其等号仅当1232xx即 1 2 x时成 立, 所以 ,f(x)最大=2 2. 2. 如果自然数a的各位数字之和等于5, 那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大 排成一列a1,a2, ,an. 若an=2012. 则 n=_. (王继忠供题 ) 解: 设 12m x xx为吉祥数 ,则 x1+x2+xm=5, 由 x11 和 x2, ,x m
2、0 得 (x1-1)+x2+xm=4, 所以 , 12m x xx为第 4 3m C 个吉祥数 . 2 1 m xx为第 4 2m C 个吉祥数 . 由此得 : 一位吉祥数共1 个, 二位吉祥数共 4 5 5C个, 三位吉祥数共 4 6 15C个, 因以 1 为首位的四位吉祥数共 4 6 15C个, 以 2 为首位的前两个四位吉祥数为: 2003 和 2012. 故 n=1+5+15+15+2=38. 3. 已知 f(x) 是 2011 次多项式 , 当 n=0,1, ,2011 时,( ) 1 n f n n . 则 f(2012)=_; (王林 供题 ) 解: 当 n=0,1, ,2011
3、 时, (n+1)f(n)=n,即多项式 (x+1)f(x)-x有 2012 个根 , 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)(x-2011). 取 x=-1, 则 1=2012!a. 故 1 2012! a , (1)(2)(2011) ( ) 2012!(1)1 x xxxx f x xx , 2012!20122013 (2012)1 2012!201320132013 f . 4. 将圆周上5 个点按如下规则染色: 先任选一点染成红色, 然后依逆时针方向, 第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红, 第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红, 第 k 步转过 k 个
4、间隔 将到达的那个点染红. 一直进行下去 , 可得到_个红点 . ( 龚红戈供题 ) 解: 将 5 个点依次编号04, 且不妨设开始染红的是0号点 , 则第 1 步染红的是1号点 ,第 2 步染红的是3 号点 , 第 3 步染红的又是1 号点 . 故共可得3 个红点 . 5. 如图,设O,I分别为ABC的外心、内心,且60B,ABBC,A的外角 平分线交O于D,已知18AD, 则OI _. (李耀文供题 ) 解: 连接BI并延长交O于E, 则E为弧AC的中点 . 连 A D O E OE、AE、CE、OC,由60B ,易知 AOE、COE均为 正三角形 . 由内心的性质得知:AEIECE, 所
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