中考数学专题复习第三讲几何探究问题.pdf
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1、中考数学专题复习第三讲几何探究问题 【专题分析】 几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边 形的综合探索与证明以及几何动态问题等. 这是中考对几何推理与证明能力考查 的必然体现 , 重在提高学生对图形及性质的认识, 训练学生的推理能力 , 解题时应 注意演绎推理与合情推理的结合. 全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作 为中考的压轴题之一 【知识归纳】 几何探究问题是中考必考题型, 考查知识全面 , 综合性强 , 它把几何知识与代数知 识有机结合起来 , 渗透数形结合思想 , 重在考查分析问题的能力、 逻辑思维推理能 力. 如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情
2、境型等, 背景鲜活 , 具有实用性和 创造性 , 在考查考生计算能力的同时, 考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、 抽象思维能力、建模能力 , 力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 需要通 过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法, 因而解题的策略是将其转化为封闭性问题. 常用的解题策略 : 1. 找特征或模型 : 如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2. 找思路 : 借助问与问之间的联系 , 寻找条件和思路 ; 3. 照搬: 照搬前一问的方法和思路解决问题, 如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、 照搬相似等 ; 4. 找结构 : 寻找不
3、变的结构 , 利用不变结构的特征解决问题. 常见的不变结构及方 法: 有直角 , 作垂线 , 找全等或相似 ; 有中点 , 作倍长 , 通过全等转移边和角 ; 有平行 , 找相似 , 转比例 . 【题型解析】 题型 1: 与全等三角形有关的探究 例题: (2017浙江衢州) 问题背景 如图 1,在正方形 ABCD 的内部,作 DAE= ABF= BCG= CDH ,根据三角形全等 的条件,易得 DAE ABF BCG CDH ,从而得到四边形EFGH 是正方形 类比探究 如图 2,在正 ABC的内部,作 BAD= CBE= ACF ,AD ,BE ,CF两两相交于 D, E,F三点( D,E,
4、F 三点不重合) (1)ABD ,BCE ,CAF是否全等?如果是,请选择其中一对进行证明 (2)DEF是否为正三角形?请说明理由 (3) 进一步探究发现,ABD的三边存在一定的等量关系, 设 BD=a , AD=b , AB=c , 请探索 a,b,c 满足的等量关系 【考点】 LO :四边形综合题 【分析】 (1)由正三角形的性质得出CAB= ABC= BCA=60 , AB=BC ,证出 ABD= BCE ,由 ASA证明 ABD BCE 即可; (2)由全等三角形的性质得出ADB= BEC= CFA ,证出 FDE= DEF= EFD , 即可得出结论; (3)作 AG BD于 G ,
5、由正三角形的性质得出 ADG=60 ,在 RtADG 中,DG= b,AG=b,在 RtABG 中,由勾股定理即可得出结论 【解答】解:(1)ABD BCE CAF ;理由如下: ABC 是正三角形, CAB= ABC= BCA=60 ,AB=BC , ABD= ABC 2,BCE= ACB 3,2=3, ABD= BCE , 在ABD 和BCE中, ABD BCE (ASA ) ; (2)DEF是正三角形;理由如下: ABD BCE CAF , ADB= BEC= CFA , FDE= DEF= EFD , DEF是正三角形; (3)作 AG BD于 G ,如图所示: DEF是正三角形, A
6、DG=60 , 在 RtADG 中,DG= b,AG=b, 在 RtABG 中,c 2=(a+ b) 2+( b) 2, c 2=a2+ab+b2 题型 2: 与相似三角形有关的探究 例题: (2017 湖南岳阳)问题背景:已知EDF的顶点 D在ABC的边 AB所在 直线上(不与 A,B重合) ,DE交 AC所在直线于点 M ,DF交 BC所在直线于点 N, 记ADM 的面积为 S1,BND的面积为 S2 (1) 初步尝试:如图,当ABC是等边三角形, AB=6 , EDF= A,且 DE BC , AD=2时,则 S1S2= 12 ; (2)类比探究:在( 1)的条件下,先将点D沿 AB平移
7、,使 AD=4 ,再将 EDF 绕点 D旋转至如图所示位置,求S1S2的值; (3)延伸拓展:当 ABC 是等腰三角形时,设 B=A=EDF= ()如图,当点 D在线段 AB上运动时,设 AD=a ,BD=b ,求 S1S2的表达式(结 果用 a,b 和 的三角函数表示) ()如图,当点D在 BA的延长线上运动时,设AD=a ,BD=b ,直接写出 S1S2 的表达式,不必写出解答过程 【分析】 (1)首先证明 ADM ,BDN都是等边三角形, 可得 S1=2 2= ,S2= (4) 2=4 ,由此即可解决问题; (2)如图 2 中,设 AM=x ,BN=y 首先证明 AMD BDN ,可得=
8、,推出 =, 推出 xy=8, 由 S1=ADAMsin60 =x, S2=DBsin60=y, 可得 S1S2= xy=xy=12; (3)如图 3 中,设 AM=x ,BN=y ,同法可证 AMD BDN ,可得 xy=ab,由 S1= ADAMsin =axsin , S2=DBBNsin =bysin , 可得 S1S2= (ab) 2sin2 ()结论不变,证明方法类似; 【解答】解:(1)如图 1 中, ABC 是等边三角形, AB=CB=AC=6,A=B=60 , DE BC ,EDF=60 , BND= EDF=60 , BDN= ADM=60 , ADM ,BDN 都是等边三
9、角形, S1=2 2= ,S2=(4) 2=4 , S1S2=12, 故答案为 12 (2)如图 2 中,设 AM=x ,BN=y MDB= MDN+ NDB= A+AMD ,MDN= A, AMD= NDB , A=B, AMD BDN , =, =, xy=8, S1=ADAMsin60 =x,S2=DBsin60=y, S1S2=xy=xy=12 (3)如图 3 中,设 AM=x ,BN=y , 同法可证 AMD BDN ,可得 xy=ab, S1=ADAMsin =axsin ,S2=DBBNsin =bysin , S1S2=(ab) 2sin2 如图 4 中,设 AM=x ,BN=
10、y , 同法可证 AMD BDN ,可得 xy=ab, S1=ADAMsin =axsin ,S2=DBBNsin =bysin , S1S2=(ab) 2sin2 方法指导:考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似 三角形的判定和性质、 三角形的面积公式 锐角三角函数等知识, 解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题 题型 3: 与全等和相似三角形有关的探究 例题:如图示,正方形ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形DEF的斜边 EF上,EF 与 BC相交于点 G ,连接 CF 求证: DAE DCF ; 求证: ABG CFG 【考点】S8:相似三角形的判
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- 中考 数学 专题 复习 三讲 几何 探究 问题
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