利用轴对称变换求最小值应用举例.pdf
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1、利用轴对称变换求最小(大)值应用举例 纵观近几年中考题,虽有一定难度,但难而不怪,灵活性强,高而可攀。其次是精心设计, 题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性,实现由知识到能力的过渡。因此,注重知识的延伸 和迁移,通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段,培养创新思维能力。在学与练的过程 中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙,从而提高数学解题能力。 一、课本原型: 如图( 1)所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B 提供牛奶,奶站应建在什么地 方,才能使从A,B 到它的距离之和最短? 解:如图( 2),只要画出A 点关于直线L 的对称点 C,连结 BC 交直线 L 于 P,则 P 点 就
2、是所求。这时PA+PB=PC+PB 为最小,(因为两点之间线段最短)。 证明:如图( 2),在L 上任取一点P1,连结 P1A,P1B,P1C, 因为 P1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边,所以结论成立。 二、应用和延伸: 例 1、如图( 3) , AOB 内有一点P,在 OA 和 OB 边上分别找出M、N,使 PMN 的周长 最小。 解:如图( 4) ,只要画出P点关于 OB 、 OA的对称点P1,P2 , 连结 P1、P2交 OB 、OA于 M 、N, 此时 PMN 的周长 PM+PN+MN=P1P2为最小。(证明略) 例 2、如图, A到直线
3、L 的距离 AC 3 千米, B 到直线 L 的距离 BD 1 千米,并且CD 4 例 2 图 l 街道 图(1 ) B A l 街道 图( 2) D P B A C B A 图(3) O P B A 图( 4 ) N M O P P2 P1 LP A1 A C B D H 图(7) 图(6) E1 C E D P B A 图( 5) C E D P B A (5,5) (2,1) Y X MO Q P Q1 123456-1 -1 1 2 3 4 5 6 (5,5) (2,1) Y X O Q P 123456-1 -1 1 2 3 4 5 6 千米,在直线L 上找一点P,使 PA+PB的值
4、最小。求这个最小值。 解:如图所示,只要过A1点画直线L 的平行线与BD的延长线交于H, 在 RtA1BH中, A1H=4千米, BH=4千米,用勾股定理求得A1B的长度为42千米。 三、迁移和拓展: 例 3、如图( 5) ,在菱形ABCD 中, AB=4a,E 在 BC上, EC=2a , BAD=120 0, 点 P在 BD上,则 PE+PC 的最小值是() (A )6a , (B) 5a, (C)4a (D)23a 。 解: 如图( 6) ,因为菱形是轴对称图形,所以BC中点 E关于对角线BD的对称点E一定落在 AB的中点 E1,只要连结CE1,CE1即为 PC+PE 的最小值。 这时三
5、角形CBE1是含有 30 0 角的直角三角 形, PC+PE=CE 1=23a 。所以选( D) 。 例 4、如图( 7) , 在直角坐标系XOY中, X 轴上的动点M (X,0)到定点P(5,5)和到 Q (2,1)的距离分别为MP和 MQ ,那么当 MP+MQ 取最小值时,点M的横坐标X=_ _.(你能求 出当 MP-MQ 最大时点M的横坐标X= ?) 解:如图( 8) ,只要画出点Q关于 X轴的对称点Q1(2,-1 ) ,连结 PQ1交 X于点 M ,则 M点 即为所求。点 M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式,(y=2x-5 ) , 令 y=0, 求得 x=5/2 。 (也
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- 利用 轴对称 变换 最小值 应用 举例
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