小学奥数36个经典(7-8).pdf
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1、第 7 讲 牛吃草问题 牛吃草问题在普通工程问题的基础上,工作总量随工作时间均匀的变化,这样就增加了难度 牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题 1. 草场有一片均匀生长的草地,可供 27 头牛吃 6 周,或供 23 头牛吃 9 周,那么它可供21 头牛吃几 周?( 这类问题由牛顿最先提出,所以又叫“牛顿问题”) 【分析与解】27 头牛吃 6 周相当于276=162 头牛吃 1 周时间,吃了原有的草加上6 周新长的草; 23头牛吃 9 周相当于239=207 头牛吃 1 周时间,吃了原有的草加上9 周新长的草;于是,多出 了 207-162=45 头牛, 多吃
2、了 9-6=3 周新长的草 所以 453=15 头牛 1 周可以吃 1 周新长出的草 即相 当于给出15 头牛专门吃新长出的草于是27-15=12 头牛 6 周吃完原有的草,现在有21 头牛,减去15 头吃长出的草,于是21-15=6 头牛来吃原来的草; 所以需要1266=12(周 ) ,于是 2l 头牛需吃12 周 评注 :我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃,这样就把问题化归为一般工程问题了 一般方法 : 先求出变化的草相当于多少头牛来吃:( 甲牛头数时间甲- 乙牛头数时间乙 ) ( 时间甲- 时间 乙) ; 再进行如下运算:( 甲牛头数 - 变化草相当头数 ) 时问甲 ( 丙牛头数
3、- 变化草相当头数)= 时间丙 或者: ( 甲牛头数 - 变化草相当头数 ) 时间甲时间丙+变化草相当头数丙所需的头数 2有三块草地,面积分别是4 公顷、 8 公顷和 10 公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一 块草地可供24 头牛吃 6 周,第二块草地可供36 头牛吃 12 周问:第三块草地可供50 头牛吃几周 ? 【分析与解】我们知道246=144 头牛吃一周吃2 个(2 公顷 +2 公顷周长的草 ). 3612=432 头牛 吃一周吃4 个 (2 公顷 +2 公顷 12 周长的草 ) 于是1442=72 头牛吃一周吃2 公顷 +2 公顷 6 周长的 草4324=108 头牛吃一周吃2
4、公顷 +2 公顷 12 周长的草所以108-72=36 头牛一周吃2 公顷 126=6 周长的草即366=d 头牛 1 周吃 2 公顷 1 周长的草 对每 2 公顷配 6 头牛专吃新长的草,则正好于是4 公顷,配426=12 头牛专吃新长的草,即 24-12=12 头牛吃 6 周吃完 4公顷,所以1 头牛吃 61(42)= 36 周吃完 2公顷 所以 10 公顷,需要1026=30 头牛专吃新长的草,剩下50-30=20 头牛来吃10 公顷草,要36 (102)20 =9 周 于是 50 头牛需要9 周吃 10 公顷的草 3如图,一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分,已知草在各
5、处都是同样速度均 匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草,两天之后把号草地的草吃光( 在这 2 天内其他草地 的草正常生长 ) 之后他让一半牛在号草地吃草,一半牛在号草地吃草,6 天后又将两个草地的草吃 光然后牧民把 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外号的牛放在号草地吃草,结果发现 它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,吃完这些草需要 多少时间? 【分析与解】一群牛, 2 天,吃了1 块+1 块 2 天新长的;一群牛,6 天,吃了2 块+2块 2+6=8 天新长 的;即 3 天,吃了1 块+1 块 8 天新长的 . 即 1 6 群牛, 1天,吃了1 块 1 天
6、新长的 . 又因为, 1 3 的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外 2 3 的牛放在号草地吃草,它们同时吃完. 所以, =2阴影部分面积. 于是,整个为 19 4 22 块地 . 那么需要 193 624 群牛吃新长的草,于是 19 12 62 ()=现在 3 1 4 (). 所以需要吃: 193 12130 624 ()()=天. 所以,一开始将一群牛放到整个草地,则需吃30 天. 4现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45 天吃完,于是马、羊吃需要60 天吃完, 于是牛、羊吃需要90 天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少 时间 ? 【分析与解】我们注
7、意到: 牛、马 45 天吃了原有 +45 天新长的草 牛、马 90 天吃了 2原有 +90 天新长的草 马、羊 60 天吃了原有 +60 天新长的草 牛、羊 90 天吃了原有 +90 天新长的草 马 90天吃了原有 +90 天新长的草 所以,由、知,牛吃了90 天,吃了原有的草;再结合知,羊吃了90 天,吃了 90 天新长的 草,所以,可以将羊视为专门吃新长的草 所以,知马60 天吃完原有的草,知牛90 天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l 11 () 9060 =36 天. 所以,牛、羊、马一起吃,需36 天 5. 有三片牧场,
8、场上草长得一样密,而且长得一样快它们的面积分别是 1 3 3 公顷、 10 公顷和 24 公顷 已知 12 头牛 4 星期吃完第一片牧场的草,21 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草,那么多少头牛18 星期才能吃完第三片牧场的草? 【分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致,给计算带来困难,如果将其均转化为1 公顷时的情形 所以表 1 中, 3.6-0.9=2.7头牛吃 4 星期吃完l 公顷原有的草,那么18 星期吃完1 公顷原有的草 需要 2.7 (184)= 0.6 头牛,加上专门吃新长草的O 9 头牛,共需0.6+0.9=1.5头牛, 18 星期才能 吃完 1 公顷牧场的草 所以需 1.5 2
9、4=36 头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草 第 8 讲 不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题 补充说明:对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考思维 导引详解五年级 第 15 讲余数问题 . 解不定方程的4 个步骤:判断是否有解;化简方程;求特解;求通解 本讲讲解顺序:包括 1、2、3 题包括 4、5 题包括 6、7 题,其中步 骤中加入百鸡问题 复杂不定方程:、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程 整数分拆问题:11、12、13、 14、15 1在两位数中,能被其各位数字之和整除
10、,而且除得的商恰好是4 的数有多少个 ? 【分析与解】设这个两位数为ab,则数字和为ab,这个数可以表达为 10ab,有104abab 即1044abab,亦即2ba 注意到a和b都是 0 到 9 的整数,且a不能为 0,因此a只能为 1、2、3 或 4,相应地b的取值为2、 4、6、8 综上分析,满足题目条件的两位数共有4 个,它们是12、24、36 和 48 2设 A和 B都是自然数,并且满足 17 11333 AB ,那么 A+B 等于多少 ? 【分析与解】将等式两边通分,有3A+llB=17, 显然有 B=l ,A=2时满足,此时A+B=2+1=3 3甲级铅笔7分钱一支, 乙级铅笔3
11、分钱一支 张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少 支? 【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支 有 7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的 方法: 将系数与常数对3 取模 ( 系数 7,3 中, 3 最小 ) : 得x=2(mod 3) ,所以x可以取 2,此时y取 12;x还可以取2+3=5,此时y取 5; 即 2 12 x y 、 5 5 x y ,对应xy为 14、10 所以张明用5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14 支或 10 支 4有纸币 60 张,其中 1 分、l 角、1 元和 10 元各有若干张 问这些纸币的总
12、面值是否能够恰好是100 元? 【分析与解】设 1 分、 1 角、 1 元和 10 元纸币分别有a 张、 b 张、 c 张和 d 张, 列方程如下: 由 60 1 10100100010000 2 abcd abcd (2)(1)得9 999999940bcd 注意到式左边是9 的倍数,而右边不是9 的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为 100 元 5. 将一根长为374 厘米的合金铝管截成若干根36 厘米和24 厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不 计问:剩余部分的管子最少是多少厘米? 【分析与解】24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的
13、总长度 必是 12 的倍数,但374 被 12 除余 2,所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2 厘米 另一方面, 374=2712+412+2,而3612=3,2412=2,有39+2 2=31即可截成9 根 36 厘米 的短管与2 根 24 厘米的短管,剩余2 厘米 因此剩余部分的管子最少是2厘米 6 某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加男职 工每人种13 棵树,女职工每人种10 棵树,每个孩子种6 棵树,他们一共种了216 棵树那么其中有多 少名男职工 ? 【分析与解】 设男职工x人,孩子y人,则女职工3y-x人( 注意,为何设孩子数为y人,而
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