专题06 几何综合探究变化型问题(宿迁28题无锡28题扬州28题南京28题等)(解析版).docx
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1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练(江苏专用) 专题06 几何综合探究变化型问题【真题再现】1(2019年宿迁中考第28题)如图,在钝角ABC中,ABC30,AC4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将BDE绕点B逆时针方向旋转度(0180)(1)如图,当0180时,连接AD、CE求证:BDABEC;(2)如图,直线CE、AD交于点G在旋转过程中,AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数;(3)将BDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180,求点G的运动路程【分析】(1)如图利用三角形的中位线定理,推出DEAC,可得BDBA=BEBC,在图中,利用两边
2、成比例夹角相等证明三角形细相似即可(2)利用相似三角形的性质证明即可(3)点G的运动路程,是图1中的BG的长的两倍,求出圆心角,半径,利用弧长公式计算即可【解析】(1)如图中,由图,点D为边AB中点,点E为边BC中点,DEAC,BDBA=BEBC,BDBE=BABC,DBEABC,DBAEBC,DBAEBC(2)AGC的大小不发生变化,AGC30理由:如图中,设AB交CG于点ODBAEBC,DABECB,DAB+AOG+G180,ECB+COB+ABC180,AOGCOB,GABC30(3)如图1中设AB的中点为K,连接DK,以AC为边向左边等边ACO,连接OG,OB以O为圆心,OA为半径作O
3、,AGC30,AOC60,AGC=12AOC,点G在O上运动,以B为圆心,BD为半径作B,当直线与B相切时,BDAD,ADB90,BKAK,DKBKAK,BDBK,BDDKBK,BDK是等边三角形,DBK60,DAB30,BOG2DAB60,BG的长=604180=43,观察图象可知,点G的运动路程是BG的长的两倍=83点评:本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,弧长公式,等边三角形的判定和性质,圆周角定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会正确寻找点的运动轨迹,属于中考压轴题2(2019年连云港中考第27题)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点
4、(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由问题探究:在“问题情境”的基础上(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F求AEF的度数;(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将APN沿着AN翻折,点P落在点P处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边BC恰好经过点A,CN交AD于点F分
5、别过点A、F作AGMN,FHMN,垂足分别为G、H若AG=52,请直接写出FH的长【分析】问题情境:过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F,证出四边形MBFN为平行四边形,得出NFMB,证明ABEBCF得出BECF,即可得出结论;问题探究:(1)连接AQ,过点Q作HIAB,分别交AD、BC于点H、I,证出DHQ是等腰直角三角形,HDHQ,AHQI,证明RtAHQRtQIE得出AQHQEI,得出AQE是等腰直角三角形,得出EAQAEQ45,即可得出结论;(2)连接AC交BD于点O,则APN的直角顶点P在OB上运动,设点P与点B重合时,则点P与点D重合;设点P与点O重合时,则点P的落点为O,由
6、等腰直角三角形的性质得出ODAADO45,当点P在线段BO上运动时,过点P作PGCD于点G,过点P作PHCD交CD延长线于点H,连接PC,证明APBCPB得出BAPBCP,证明RtPGNRtNHP得出PGNH,GNPH,由正方形的性质得出PDG45,易得出PGGD,得出GNDH,DHPH,得出PDH45,故PDA45,点P在线段DO上运动;过点S作SKDO,垂足为K,即可得出结果;问题拓展:延长AG交BC于E,交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,则EGAG=52,PHFH,得出AE5,由勾股定理得出BE=AE2-AB2=3,得出CEBCBE1,证明ABEQCE,得出QE=13AE=53,A
7、QAE+QE=203,证明AGMABE,得出AM=258,由折叠的性质得:ABEB3,BB90,CBCD90,求出BM=AM2-AB2=78,AC1,证明AFCMAB,得出AF=257,DF4-257=37,证明DFPDAQ,得出FP=57,得出FH=12FP=514【解答】问题情境:解:线段DN、MB、EC之间的数量关系为:DN+MBEC;理由如下:四边形ABCD是正方形,ABEBCD90,ABBCCD,ABCD,过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F,如图1所示:四边形MBFN为平行四边形,NFMB,BFAE,BGE90,CBF+AEB90,BAE+AEB90,CBFBAE,在ABE和
8、BCF中,BAE=CBFAB=BCABE=BCF=90,ABEBCF(ASA),BECF,DN+NF+CFBE+EC,DN+MBEC;问题探究:解:(1)连接AQ,过点Q作HIAB,分别交AD、BC于点H、I,如图2所示:四边形ABCD是正方形,四边形ABIH为矩形,HIAD,HIBC,HIABAD,BD是正方形ABCD的对角线,BDA45,DHQ是等腰直角三角形,HDHQ,AHQI,MN是AE的垂直平分线,AQQE,在RtAHQ和RtQIE中,AQ=QEAH=QI,RtAHQRtQIE(HL),AQHQEI,AQH+EQI90,AQE90,AQE是等腰直角三角形,EAQAEQ45,即AEF4
9、5;(2)连接AC交BD于点O,如图3所示:则APN的直角顶点P在OB上运动,设点P与点B重合时,则点P与点D重合;设点P与点O重合时,则点P的落点为O,AOOD,AOD90,ODAADO45,当点P在线段BO上运动时,过点P作PGCD于点G,过点P作PHCD交CD延长线于点H,连接PC,点P在BD上,APPC,在APB和CPB中,AP=PCBP=BPAB=BC,APBCPB(SSS),BAPBCP,BCDMPA90,PCNAMP,ABCD,AMPPNC,PCNPNC,PCPN,APPN,PNA45,PNP90,PNH+PNG90,PNH+NPH90,PNG+NPG90,NPGPNH,PNGN
10、PH,由翻折性质得:PNPN,在PGN和NHP中,NPG=PNHPN=PNPNG=NPH,PGNNHP(ASA),PGNH,GNPH,BD是正方形ABCD的对角线,PDG45,易得PGGD,GNDH,DHPH,PDH45,故PDA45,点P在线段DO上运动;过点S作SKDO,垂足为K,点S为AD的中点,DS2,则PS的最小值为2;问题拓展:解:延长AG交BC于E,交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,如图4:则EGAG=52,PHFH,AE5,在RtABE中,BE=AE2-AB2=3,CEBCBE1,BECQ90,AEBQEC,ABEQCE,AEQE=BECE=3,QE=13AE=53,AQ
11、AE+QE=203,AGMN,AGM90B,MAGEAB,AGMABE,AMAE=AGAB,即AM5=524,解得:AM=258,由折叠的性质得:ABEB3,BB90,CBCD90,BM=AM2-AB2=78,AC1,BAD90,BAMCFA,AFCMAB,AFAM=ACBM=178,解得:AF=257,DF4-257=37,AGMN,FHMN,AGFH,AQFP,DFPDAQ,FPAQ=DFAD,即FP203=374,解得:FP=57,FH=12FP=514点评:本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
12、的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解题的关键3(2019年无锡中考副卷第28题)如图,在RtABC中,ACBC4,ACB90,正方形BDEF的边长为2,将正方形BDEF绕点B旋转一周,连接AE、BE、CD(1)请找出图中与ABE相似的三角形,并说明理由;(2)求当A、E、F三点在一直线上时CD的长;(3)设AE的中点为M,连接FM,试求FM长的取值范围【分析】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据相似三角形的性质得到AB=2BC42,根据勾股定理得到AF=AB2-BF2=(42)2-22=27,如图1,当AE在AB左上方
13、时,如图2,当AE在AB右下方时,即可得到结论;(3)如图3,延长EF到G使FGEF,连接AG,BG,求得BFG是等腰直角三角形,得到BG=2BF22,设M为AE的中点,连接MF,根据三角形中位线的定理得到AG2FM,根据三角形的三边关系即可得到结论【解析】(1)ABECBD,在RtABC中,ACBC4,ACB90,ABCEBD45,ABECBD,ABBC=2,BEBD=2,ABBC=BEBD,ABECBD;(2)ABECBD,AECD=BEBD=2,CD=22AE,ACBC4,ACB90,AB=2BC42,当A、E、F三点在一直线上时,AFB90,AF=AB2-BF2=(42)2-22=27
14、,如图1,当AE在AB左上方时,AEAFEF27-2,CD=14-2;如图2,当AE在AB右下方时,同理,AEAF+EF27+2,CD=14+2;综上所述,当A、E、F三点在一直线上时,CD的长为14-2或14+2;(3)如图3,延长EF到G使FGEF,连接AG,BG,则BFG是等腰直角三角形,BG=2BF22,设M为AE的中点,连接MF,MF是AGE的中位线,AG2FM,在ABG中,ABBGAGAB+BG,22AG62,2FM32点评:本题考查了相似形的综合题,考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,等腰直角三角形的性质,三角形中位线定理,正确的作出辅助线是解题的关键4(2019年盐城中
15、考第25题)如图是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:()将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图;()在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B处,如图,两次折痕交于点O;()展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图【探究】(1)证明:OBCOED;(2)若AB8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式【分析】(1)利用折叠性质,由边角边证明OBCOED;(2)过点O作OHCD于点H由(1)OBCOED,OEOB,BCx,则ADDEx,则CE8x,OH=12CD4,则EHCHCE4(8x)x4在RtOHE中,由勾股定理得OE2OH2+EH2,即OB24
16、2+(x4)2,所以y关于x的关系式:yx28x+32【解析】(1)证明:由折叠可知,ADED,BCODCOADOCDO45BCDE,COD90,OCOD,在OBCOED中,OC=ODOCB=ODEBC=DE,OBCOED(SAS);(2)过点O作OHCD于点H由(1)OBCOED,OEOB,BCx,则ADDEx,CE8x,OCOD,COD90CH=12CD=12AB=128=4,OH=12CD4,EHCHCE4(8x)x4在RtOHE中,由勾股定理得OE2OH2+EH2,即OB242+(x4)2,y关于x的关系式:yx28x+32点评:本题是四边形综合题,熟练运用轴对称的性质和全等三角形的判
17、定以及勾股定理是解题的关键5(2019扬州)如图,已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)直线1是经过点P的一条直线,把ABC沿直线1折叠,点B的对应点是点B(1)如图1,当PB4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为4或0;(2)如图2,当PB5时,若直线1AC,则BB的长度为53;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线1始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4)当PB6时,在直线1变化过程中,求ACB面积的最大值【分析】(1)证明APB是等边三角形即可解决问题(2)如图2中,设直线l交BC于点E连接BB交PE于
18、O证明PEB是等边三角形,求出OB即可解决问题(3)如图3中,结论:面积不变证明BBAC即可(4)如图4中,当BPAC时,ACB的面积最大,设直线PB交AC于E,求出BE即可解决问题【解析】(1)如图1中,ABC是等边三角形,A60,ABBCAC8,PB4,PBPBPA4,A60,APB是等边三角形,ABAP4当直线l经过C时,点B与A重合,此时AB0故答案为4或0(2)如图2中,设直线l交BC于点E连接BB交PE于OPEAC,BPEA60,BEPC60,PEB是等边三角形,PB5,B,B关于PE对称,BBPE,BB2OBOBPBsin60=532,BB53故答案为53(3)如图3中,结论:面
19、积不变B,B关于直线l对称,BB直线l,直线lAC,ACBB,SACBSACB=128328163(4)如图4中,当BPAC时,ACB的面积最大,设直线PB交AC于E,在RtAPE中,PA2,PAE60,PEPAsin60=3,BE6+3,SACB的最大值=128(6+3)43+24解法二:如图5中,过点P作PH垂直于AC,由题意可得:B在以P为圆心半径长为6的圆上运动,当PH的延长线交圆P于点B时面积最大,此时BH6+3,SACB的最大值=128(6+3)43+24点评:本题属于几何变换综合题,考查了等边三角形的性质和判定,轴对称变换,解直角三角形,平行线的判定和性质等知识,解题的关键是理解
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