数学思维与智慧开发 第十八章归纳与演绎.ppt
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1、第十八章 归纳与演绎,第一节 归纳与演绎方法概述,在人类认识客观世界的发展历程中,归纳和演绎作为两科t重要的思维方法,曾经起着还必将继续发挥巨大的功能和作用。 一般说来,人们认识现实世界中事物的方式,有时候是由认识个别的和特殊的事物,进而认识一般的事物,这种认识方法称为归纳;有时候又由认识一般的事物,过渡到认识特殊的和个别的事物,这种认识方法称为演绎。 这是人类认识运动的两种方向相反的思维过程。,【例】在对许多个别的三角形的三个角进行度量和计算后,发现三个角的和总是于180。通过归纳就会得到一个一般性认识:“三角形的三个内角和等于180o”。 有了这个一般性认识后,当人们要认识某一特殊的三角形
2、比如等腰直角三角形的一个锐角是多少度时,我们就可以由这个一般的认识通过演绎而得到如下特殊的和个别的认识:“等腰直角三角形的锐角等于45”。,由此我们还看到,归纳和演绎决不是互相割裂和绝对对立的。它们虽然是互相区别、彼此对立的,然而它们又相互联系、相互依存,在一定条件下互相转化。 这就是说,在人们的认识过程中,由个别、特殊到一般和由一般到特殊、个别,总是交错进行着的。是认识的上升运动,它既不是单纯的归纳,也不是单纯的演绎。,归纳帮助我们把对于许多个别事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。 演绎把我们从归纳得出的一般结论作为根据,继续研究那些尚未深入研究或者新出现的个别事物和其他
3、特性,而这一研究也为进一步的归纳准备条件。 因此,归纳为演绎提供了作为前提的基础,而演绎又指导并进一步深化着归纳的进行。 归纳和演绎就是这样密切的联系着和相互依赖着,互为条件和互相渗透着。,在认识事物的过程中,应用归纳和演绎这两种思维方法进行推理,所表现出来的思维形式,我们分别称为归纳推理和演绎推理,也常称为归纳法和演绎法。 下面我们将分别阐述。,第二节 归纳方法,1、归纳推理及其分类 归纳推理是以某些个别的和特殊的判断为前提,推出一个作为结论的一般性判断的推理形式。 【例】三角形三内角和等于多少? (i)单称判断(个别的判断) 锐角三角形三内角和等于180;直角三角形三内角和等于180;钝角
4、三角形三内角和等于180。 (ii)特称判断(特殊的判断) 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形构成三角形全体。,(iii)全称判断(一般的判断) 三角形内角和等于180。 本例说明:归纳是推理的一种特殊形式。 【例】考察由公式f(n)=n2-n+41给出的数的性质。 f(1)=12-1+41=41,是质数; f(2)=22-2+41=43,是质数; f(3)=32-3+41=47,是质数, 结论:由公式f(n)=n2-n+41给出的数是质数。 本例说明:归纳常常需要通过试验和观察来得到一些个别的和特殊的判断,以作为归纳的前提。,因此,试验与观察是归纳的基础,而归纳则成为人们探索和发现真理的主要
5、工具。 对于归纳(以及类比)推理在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用,我国数学家徐利治用下图作出了很好的阐述。,从具体问题具体素材出发,实验,归纳,推广,形成普通命题(猜想),证明,类比,联想,预见,1742年,德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察,如: 15=3+5+7,21=3+7+ll,77=7+17+53,46l=5+7+449, 通过思考、分析而归纳得到一个猜想:任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。 他把这个猜想告诉瑞士数学家欧拉,欧拉在肯定他的猜想的同时,进行了新的试验和观察,经过分析而归纳出一个更简明的命题:,任何大于2的大偶数都可以表示为两个质数之和。比如
6、4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=3+7, 这个命题可以推出前一个命题。 然而它们还只是根据有限个个别的试验和判断所归纳得到的命题,还没有经过严格的证明,还只能称为猜想。 这个猜想被简记为:大偶数=(1+1)。 它吸引了许多数学家的注意。从哥德巴赫和欧拉开始至今,许多数学家前赴后继,努力攻克这 一世界性的数学难题,但遇到的困难仍很大。,1742年,德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察,如: 15=3+5+7,21=3+7+ll,77=7+17+53,46l=5+7+449, 通过思考、分析而归纳得到一个猜想:任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。 他把这个猜想告诉了瑞士
7、数学家欧拉。欧拉在肯定他的猜想的同时,进行了新的试验和观察,经过分析而归纳出一个更简明的命题:,为了对归纳推理进行较深入的研究,我们根据归纳过程中的特点,即根据归纳的前提是考察了一类对象的全体,还是仅仅考察它的部分,把它分为完全归纳法和不完全归纳法。 2、不完全归纳法 不完全归纳法是以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有(或不具有)某种属性为前提,推出该类事物具有(或不具有)该属性的一般结论的推理方法。,【例】考察相邻两个奇数(偶数)的乘积与它们中间的数的关系。 13=3=22-1 24=3 =32-1 35=15=42-1 46=24=52-1 结论:相邻两个奇数(偶数)的乘积比它们中间的数
8、的平方少1。,【例】十七世纪法国著名数学家笛卡尔曾注意到,任意封闭凸多面体的面数、棱数、顶点数之间有着一定的关系: 四面体:顶点数4+面数4=棱数6+2 六面体:顶点数8+面数6=棱数12+2 八面体:顶点数6+面数8=棱数12+2 十二面体:顶点数20+面数12=棱数30+2 二十面体:顶点数12+面数20=棱数30+2 结论:任意封闭凸多面体的顶点数V+面数F=棱数E+2。 这个公式的严格证明是由十八世纪最著名的数学家欧拉给出的,称之为欧拉公式。,不完全归纳法由于没有(或无法)穷举考察对象的全体,因此它的结论带有猜想的性质,属于似真推理(即当前提为真时仅是可能为真)。 不完全归纳法所推出命
9、题的正确性必须经过严格的证明。 前面各例除“f(n)=n2-n+41给出的数是质数”之外,我们都可以证明它是真的,而由于f(41)=412-41+41=412是合数,说明原来推论f(n)=n2-n+41给出的数是质数是错误的。,对不完全归纳法所得结论具有猜想性,我国著名数学家华罗庚作过如下生动的说明: 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们会出现一种猜想,是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球? 但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,这个猜想失败了。 这时,我们会出现另一个猜想:是不是袋里的东西全部都是玻璃球?,但是,当有一
10、次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了。 那时,我们会出现第三个猜想:是不是袋里的东西都是球? 这个猜想对不对,还必须继续加以检验,直到把袋里的东西全部摸出来,才能见分晓。 虽然不完全归纳法属于“似真推理”,它的结论带有猜想性,然而它在科学研 究、数学发展以及数学教学中,却有着非凡的积极的作用。 这是因为由似真推理所得到的猜想,往往意味着发现与创新。,当然,为了提高猜想的真确性,或者说为了更合理的猜想,在运用不完全归纳法时还应当注意更多地考察被归纳的对象。 一类对象中被考察的个别对象越多,范围越广,结沦的可靠性越大;另一方面,对于不完全归纳推得的结论,还应通过逆向思维,尽量搜集能否定自己
11、猜想的反例,这样将使我们对猜想的正确性有更深刻的认识。,3、完全归纳法 完全归纳法是根据某类事物对象中每一个别对象或每一个子类情况都具有(或都不具有)某种属性,概括出该类事物具有(或不具有)该属性的一般性结论的推理方法。 【例】证明自然数的平方的末位数不是2。 我们根据自然数末位数字的不同将自然数集分为十个子集,然后找出每一类子集里的自然数的平方的末位数字,如下表:,此表说明:自然数的平方的末位数不是2。,完全归纳法是考察了某类事物的每个对象或每一特殊(子类)情况,然后得出的一般性结论。 因此,只要前提是真的,那么结论也是真实的。所以完全归纳推理是一种必然推理。 数学归纳法就是完全归纳法的一种
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