导数公式的证明(最全版).doc
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1、导数的定义:f(x)=lim y/x x0(下面就不再标明x0了)用定义求导数公式(1)f(x)=xn 证法一:(n为自然数)For personal use only in study and research; not for commercial usef(x)=lim (x+x)n-xn/x=lim (x+x-x)(x+x)(n-1)+x*(x+x)(n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)/xFor personal use only in study and research; not for commercial use=lim (x+x)(n-1)+x*(x+x)(
2、n-2)+.+x(n-2)*(x+x)+x(n-1)=x(n-1)+x*x(n-2)+x2*x(n-3)+ .x(n-2)*x+x(n-1)=nx(n-1)For personal use only in study and research; not for commercial use证法二:(n为任意实数)f(x)=xnlnf(x)=nlnx(lnf(x)=(nlnx)f(x)/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xnf(x)=nx(n-1)(2)f(x)=sinxf(x)=lim (sin(x+x)-sinx)/x=lim (sinxcosx+cosxsinx-
3、sinx)/x=lim (sinx+cosxsinx-sinx)/x=lim cosxsinx/x=cosx(3)f(x)=cosxf(x)=lim (cos(x+x)-cosx)/x=lim (cosxcosx-sinxsinx-cosx)/x=lim (cosx-sinxsinx-cos)/x=lim -sinxsinx/x=-sinx(4)f(x)=ax证法一:f(x)=lim (a(x+x)-ax)/x=lim ax*(ax-1)/x(设ax-1=m,则x=loga(m+1))=lim ax*m/loga(m+1)=lim ax*m/ln(m+1)/lna=lim ax*lna*m/l
4、n(m+1)=lim ax*lna/(1/m)*ln(m+1)=lim ax*lna/ln(m+1)(1/m)=lim ax*lna/lne=ax*lna证法二:f(x)=axlnf(x)=xlnalnf(x) =xlna f (x)/f(x)=lnaf (x)=f(x)lnaf (x)=axlna若a=e,原函数f(x)=ex则f(x)=ex*lne=ex(5)f(x)=logaxf(x)=lim (loga(x+x)-logax)/x=lim loga(x+x)/x/x=lim loga(1+x/x)/x=lim ln(1+x/x)/(lna*x)=lim x*ln(1+x/x)/(x*l
5、na*x)=lim (x/x)*ln(1+x/x)/(x*lna)=lim ln(1+x/x)(x/x)/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e,原函数f(x)=logex=lnx则f(x)=1/(x*lne)=1/x(6)f(x)=tanxf(x)=lim (tan(x+x)-tanx)/x=lim (sin(x+x)/cos(x+x)-sinx/cosx)/x=lim (sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+x)=lim (sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinx
6、sinx)/(xcosxcos(x+x)=lim sinx/(xcosxcos(x+x)=1/(cosx)2=secx/cosx=(secx)2=1+(tanx)2(7)f(x)=cotxf(x)=lim (cot(x+x)-cotx)/x=lim (cos(x+x)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x=lim (cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x)/(xsinxsin(x+x)=lim (cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsinxsin(x+x)=lim -sinx/(xsinxsin(x+x)
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