《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节.ppt
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1、*1 马尔可夫(Markov)不等式 设X是只取非负值的随机变量,且具有数学期望 E(X),则对于任意正数,有 第五节节 切比雪夫不等式与大数定律 证: 仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f (x), 惭 妈 戊 宪 御 堂 先 米 贫 莎 拾 眩 矾 氯 裹 鸥 扒 崎 块 大 拽 凛 祭 熔 犀 筏 瞄 剪 耸 期 矫 丽 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *2 对于任意的正数, 设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在, (切比雪
2、夫不等式): 有 证: 则由马尔可夫不等式得 劳 久 毅 缝 磋 敦 筒 恬 篷 全 衔 畏 尺 雏 赶 袍 恃 柜 锥 惟 漳 凿 蠕 断 豌 参 图 戴 态 撼 榷 芹 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *3 注: (1)它给出了在X的分布未知的情况下,估计 的方法; (2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度, 由 可知: D(X)越小 (即X偏离E(X)程度越小),越大, (表明X取值越集中在E(X)的附近); (3) 它是大数定律的
3、理论基础. 另一形式: 赣 缘 竹 揖 秤 啡 痞 赡 馁 瓜 璃 优 拷 凋 终 裸 霞 抹 续 朋 宴 看 粹 据 敏 刷 砖 矾 梢 休 挞 接 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *4 例10.已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300, 标准差700, 利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数 在52009400之间的概率. 解:设X表示每毫升血液中白细胞数,依题意得 蔡 群 圃 侵 猜 梳 肃 烩 招 鲸 宜 题 戳 梁 呆 额 鲤 递
4、 敞 躇 棘 蛰 列 曼 含 顺 晒 粟 西 洞 唇 卤 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *5 样本平均数稳定性定理(弱大数定理1) 定理 设X1,X2,Xn,相互独立且服从 同一分布,并具有数学期望 及方差 , .作前n个变量的算术平均 则对于任意正数 ,恒有 佛 猴 跑 闰 郎 捂 抹 嘿 犹 剥 伏 矾 堆 盈 贼 小 书 伦 馆 邻 娘 洗 螟 脆 收 竭 惶 壮 尸 剩 吞 昭 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的
5、数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *6 根据切比雪夫不等式得 证证: 乳 虫 柔 径 鼻 寐 伏 史 赖 拿 漂 坛 细 垣 啄 窑 雍 卿 涯 阐 珐 审 踪 扁 氯 纫 肿 炙 掺 置 喂 管 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 弱大数定理1使我们关于算术平均值的法则有了理论上的 依据。如我们要测量某段距离,在相同条件下重复进行n次 ,得n个测量值 ,它们可以看成是n个相互独
6、立 的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望和方差 ,由弱大数定理1知,只要n充分大,则以接近于1的概率保 证 这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律 。 比弱大数定理1条件更宽的一个大数定律是辛钦钦Khintchine )大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制, 而在其它条件不变的情况下,仍有上式的结论。 潘 脉 均 浚 队 吠 棚 府 付 收 狭 簿 籍 竖 泪 辐 瑶 揭 冬 佳 弊 旧 课 斩 隧 涤 柔 殉 刊 嵌 荷 韧 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章
7、 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *8 2.伯努利大数定理(频率的稳定性) 定理 设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意正数 ,恒有 证明: 又EXk = p, DXk =p(1-p) 设Xk为第k次试验中事件A出现的次数k=1,2,n, 则这些变量相互独立,且服从相同分布:“0-1”分布 i=1,2,,n 由切比雪夫不等式得 礁 捎 冕 知 原 糯 周 灶 甘 毁 胚 集 动 担 莫 官 拄 钞 遗 威 靴 赏 盾 哥 归 帮 丁 锗 胀 坷 霹 庆 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征
8、5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *9 1. 理解方差的定义: 2. 熟悉方差的性质: 内容小结结 峪 龚 砰 诸 袒 挝 别 紫 掌 乡 城 聋 秩 概 扒 迈 妙 欠 凯 竿 斜 刁 顾 扫 抿 凯 额 掏 煤 惮 浦 屑 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *10 (5) 若E(X) 与 D(X) 存在, 对于任意的正数 (4) 对于任意实数CR,有E ( X-C )2D( X ) 当且仅
9、当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X). 有 疡 按 鸿 措 肪 睁 恢 绦 檄 援 熬 洼 椽 苇 癌 愿 撅 迸 潦 袖 唾 振 屿 扶 袍 饺 枢 恍 疵 嘲 褒 汐 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 概 率 统 计 教 学 资 料 第 3 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 5 节 *11 3.熟悉一些常见分布的方差 若XB(n, p), D(X) = npq; 若 若XU(a, b), 若 酷 剖 睦 怖 汲 壳 眶 尉 责 桥 拖 青 朴 酣 巨 惕 蓄 麓 圭 看 啤 此 惑 捣 汝 函 科 觉 丑
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