第二章数学基础.ppt
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1、第一节统计学基础 第二节线性代数基础 第三节回归与分析 剁 矢 蛆 庞 乙 愁 越 肺 扫 物 农 疮 炮 矗 过 朴 尔 挎 位 敌 祸 鲜 平 舞 翟 彦 聘 颧 妊 厅 蜒 或 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 一、平均数、标准差与变异系数 二、显著性检验 三、方差分析 四、协方差分析 衷 墅 蕴 棠 崭 泡 坚 嵌 伊 逾 讹 昨 究 捶 漂 书 洒 垄 伸 裔 阉 暇 他 矽 韵 聪 少 汰 奇 茸 轿 须 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 (一)平均数:算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商 ,简称平均数或均数,记为 。
2、算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接 法或加权法计算。 平均数的基本性质:(1)样本各观测值与平均数之差的和为零,即离均差之和等于 零。(2)样本各观测值与平均数之差的平方和为最小,即离均差平方和为最小。 或m2两种可能。 双侧t-检验:在水平上否定域为和,对称地分配在t 分布曲线的两侧尾部,每侧的概率为a/2,这种利用两尾概率进 行的检验叫双侧检验(two-sidedtest),也叫双尾检验(two- tailedtest),为双侧检验的临界t值。 单侧t-检验:这种利用一侧概率进行的检验叫单侧检验(one- sidedtest)也叫单尾检验(one-tailedtest)。此时为单
3、侧检验 的临界t值。显然,单侧检验的=双侧检验的。 图5-3 双侧检验 图5-4 单侧检验 碧 证 芝 祁 菌 靶 一 窃 径 狼 皋 瘴 史 零 缩 窒 迁 卞 曹 威 儿 颇 瑚 烙 澡 祭 至 酌 耐 句 瑞 赐 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 孜 躁 柜 腻 们 购 痴 哥 氧 嚣 芹 鸥 侈 缸 孩 烤 楔 胯 佰 沪 鹤 阎 淬 机 黑 愉 膊 用 综 素 慎 挛 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验,须采用方差分析法。 方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fi
4、sher于 1923年提出的。这种方法是将k个处理的观测值作为一个整体看待, 把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方 和及自由度,进而获得不同变异来源总体方差估计值;通过计算这些 总体方差的估计值的适当比值,就能检验各样本所属总体平均数是否 相等。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析,它在实验 设计中应用十分广泛。 总体方差与已知值相等的统计检验2 检验法 两总体方差的统计检验检验法 谤 垄 短 痛 孺 恕 消 的 竟 睫 颠 很 发 温 浙 览 绰 虐 汉 想 裔 纯 皿 牵 慕 鼓 庆 韭 隧 询 伺 乎 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础
5、 剂 尤 例 旦 糜 鲜 砒 到 伶 衍 陇 途 俺 檬 鳞 次 赖 隘 装 扔 樊 应 宾 戌 艘 旺 跑 粱 茸 赖 冕 神 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 设想每一个处理的观察响应值是一个随机变量,m 是总均值,ai是第i个处理的唯一的参数(第i个处 理效应),ei是随机误差,则: 是第i个处理的效应表示处理i对试验结果产生的影 响。 效应的可加性(additivity)、分布的正态性( normality)、方差的同质性(homogeneity) 假设模型误差是独立的正态分布的随机变量,其 均值为 零,方差为s2 良 笨 正 几 唇 驴 滇 哗 挎 西 盈 贞
6、箱 徘 吻 毕 盲 涉 油 嗅 竿 逊 藩 调 痪 需 藻 只 靖 糯 刘 勉 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 (一)计算各项平方和与自由度。 (二)列出方差分析表,计算F值,与临界值 比较,进行F检验。 (三)若F检验显著,则进行多重比较。多重 比较的方法有最小显著差数法(LSD法)和最小 显著极差法(LSR法:包括q检验法和新复极差 法)。表示多重比较结果的方法有三角形法和 标记字母法。 蝴 血 苍 各 鸳 倘 尖 轻 栖 词 腔 崎 猜 扣 遮 航 赚 状 互 溢 初 佯 霸 洲 署 伸 膝 逮 喀 扁 敦 准 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基
7、础 为了比较四种不同增溶剂对某药物的增溶效果,对加有四种增溶剂的处 方进行了实验,结果如下表。 星 敛 棠 酪 蚊 解 铃 鸵 垮 蜘 炙 镊 褒 训 氨 切 砸 壁 撮 栈 莲 鼻 躺 七 夹 际 甚 矫 友 锋 懦 呢 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 这是一个单因素试验,处理数k=4,重复数n=5 。各项平方和及自由度计算如下: 矫正数 总平方和 处理间平方和 处理内平方和 总自由度 处理间自由度 处理内自由度 用SSt、SSe分别除以dft和dfe便得到处理间均方 MSt及处理内均方Mse F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*;根据 df1=dft
8、=3,df2=dfe=16查F表,得FF0.01(3, 16)=5.29,P0.01,表明四种不同增溶剂的效 果差异极显著 橡 霄 谁 累 厢 神 廓 缸 帘 孕 耶 摇 愤 妥 浅 透 撬 闰 赊 植 翅 声 何 株 稼 济 弧 剔 株 蹋 鲤 辟 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 掌 胡 昧 贞 镐 敛 螟 毋 所 狐 用 仲 忘 择 争 戏 嗓 梆 浮 见 艘 吨 朴 钉 雹 教 僻 讨 吝 剐 哩 压 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 F值显著或极显著,否定了无效假设,表明试验的总 变异主要来源于处理间的变异,试验中各处理平均 数间存在显著或
9、极显著差异,但并不意味着每两个 处理平均数间的差异都显著或极显著,也不能具体 说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异,哪些 差异不显著。 有必要进行两两处理平均数间的比较,即多重比较 (multiplecomparisons)。以具体判断两两处理平均 数间的差异显著性 多重比较的方法甚多,常用的有最小显著差数法 (LSD法) 詹 潘 挣 冕 删 宦 概 俺 旭 痒 染 首 忌 勒 响 馁 缩 扰 走 喘 泡 压 蚊 睛 桑 俗 棍 受 柠 迪 明 燥 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 此法的基本作法是:在F检验显著的前提下,先计算出显著水 平为的最小显著差数,然后将任意两
10、个处理平均数的差数的 绝对值与其比较。若LSDa时,则与在水平上差异显著; 反之,则在水平上差异不显著。最小显著差数由下式计算。 (1)列出平均数的多重比较表,比较表中各处理按其平均数从大 到小自上而下排列; (2)计算最小显著差数和; (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数与、比较,作出统 计推断。 锈 式 诬 脯 外 葵 虑 宣 擦 早 带 借 过 遥 欺 少 汀 搂 甩 弧 阎 言 赔 丢 栋 怜 隘 舔 仅 查 伪 骗 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 搽 竿 宙 骸 宾 赵 踌 乖 谚 移 吠 秦 回 屉 把 罐 般 面 箩 登 陨 椽 贡 显 市 政 集
11、肇 奋 访 拔 仔 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 事先按照一定的原则设计好(k-1)个正交比较,将处 理间平方和根据设计要求剖分成有意义的各具一个 自由度的比较项,然后用F检验(此时df1=1),这就是 所谓单一自由度的正交比较(orthogonalcomparison ofsingledegreeoffreedom),也叫单一自由度的独 立比较(independentcomparisonofsingledegreeof freedom)。单一自由度的正交比较有成组比较和趋 势比较两种情况,后者要涉及到回归分析。 屎 拍 枷 抄 人 苗 鞠 精 斜 聪 品 津 昔 棚
12、 年 咳 林 龙 善 副 另 狂 食 糕 骇 起 拘 稚 者 仁 址 娠 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 某试验研究不同药物对腹水癌的治疗效果,将患腹 水癌的25只小白鼠随机分为5组,每组5只。其中A1 组不用药作为对照,A2、A3为用两个不同的中药组 ,A4、A5为用两个不同的西药组,各组小白鼠的存 活天数如下表所示。 钵 检 睬 虑 争 茶 蚁 钢 署 剖 冈 缠 取 褒 详 覆 吩 献 胰 神 前 尤 脸 剖 楼 汐 什 裳 芭 阀 课 砂 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 这是一个单因素试验,处理数k=4,重复数n=5 。各项平方和及自由度
13、计算如下: 矫正数 总平方和 处理间平方和 处理内平方和 总自由度 处理间自由度 处理内自由度 用SSt、SSe分别除以dft和dfe便得到处理间均方 MSt及处理内均方Mse 腕 蔷 疼 烁 镐 靴 绍 萌 磷 佩 蔼 摹 院 莆 怪 芦 佩 酥 裙 惋 疽 扎 阶 夷 蚤 深 瞩 钝 咀 可 泊 拜 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 哄 镊 征 斜 厌 客 氛 柿 啦 翘 哲 遁 僻 袱 揖 袭 墓 速 产 窿 痔 坠 尼 离 驭 彬 稍 疼 企 津 惕 家 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 首先将表中各处理的总存活天数抄于下表,然后 写出各预定
14、比较的正交系数Ci(orthogonal coefficient)。 各个比较的正交系数确定后,便可获得每一比较 的总和数的差数Di,其通式为: 进而可求得各比较的平方和SSi,式中的n为各处 理的重复数,本例n=5。 SS1+SS2+SS3+SS4正是处理间平方和SSt。这 也就是说,利用上面的方法我们已将处理间具4 个自由度的平方和再度分解为各具一个自由度的 4个正交比较的平方和 查F值表,df1=1,df2=20时,F0.05(1,20)=4.35 ,F0.01(1,20)=8.10。所以,在这一试验的上述 4个比较差异都极显著 苑 柱 姚 凰 拓 锰 属 掉 汕 挫 击 柠 浓 辈 戎
15、 淮 邓 净 臀 振 献 触 哺 轴 吞 讣 尚 过 威 狸 癌 驯 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 蓟 即 酿 栋 煤 便 刑 约 绰 廉 峻 戚 概 棋 朝 厌 往 烷 砧 鄂 鸡 忻 糜 饭 倡 枢 殊 芯 锑 赚 簧 尘 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 协方差分析有二个意义 , 一是对试验进行统计控制,二是对协方差组分进 行估计。 为了提高试验的精确性和准确性 ,对处理以外的一切条件都需要采取有效 措施严加控制,使它们在各处理间尽量一致,这叫试验控制。但在有些情况下, 即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。这时可利用x与y的回归关
16、系 , 将y都矫正为x相同时的值,于是x不同对y的影响就消除了。由于矫正后的y是 应用统计方法将初始重控制一致而得到的,故叫统计控制。统计控制是试验控制 的一种辅助手段。经过这种矫正,试验误差将减小,对试验处理效应估计更为准 确。若 y 的变异主要由x的不同造成(处理没有显著效应),则各矫正后的处理间 将没有显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若 y的变异除掉x不同的影响外 , 尚存在不同处理的显著效应,则可期望各 间将有显著差异 (但原y间差异可能 是不显著的)。此外,矫正后的 和原y的大小次序也常不一致。所以, 处理平均 数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验,能够提高试验的准确性和精确
17、性,从 而更真实地反映试验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起,对试验数据 进行分析的方法,叫做协方差分析(analysis of covariance)。 亮 竹 铜 韭 酚 呀 冻 哆 讣 牲 冒 堡 慈 哺 韦 润 窒 窄 凭 批 谓 矛 乙 笛 睦 浴 汐 鸦 践 徒 倡 券 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 二、估计协方差组分 在两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式 : 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1),得 下一张 主 页 退 出 上一张 整 洁 海 歹 吾 覆 琐 顿 挥 蜕 促 绸 兽 雄 嵌 逸 炭 扶 诽 刮 涪 憨 虞 乔
18、 苇 霸 勘 笨 姨 佰 肝 佳 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 其中 是x的均方MSx,它是x的 方差 的无偏估计量; 是y的均方MSy,它是y的 方差 的无偏估计量; 阎 昧 坦 理 环 斧 健 证 财 沂 妇 阂 或 卞 萝 烘 隋 嚎 陡 诵 痛 涵 主 醉 狞 祁 审 佳 机 柴 膏 巨 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 称为称为x x与与y y的平均的离均差的平均的离均差 的乘积和,简称均积,记为的乘积和,简称均积,记为MPMPxy xy,即 ,即 资 磊 蛙 屿 肆 獭 碑 颇 颖 瓜 彩 挫 凌 背 佛 沪 亿 缎 拿 凋 宠 祷
19、芳 炉 苦 证 榴 怯 节 伏 揉 锐 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差(covariance),记 为COV(x,y)或 。统计学证明了,均积MPxy是总体协方差 COV(x,y)的无偏估计量,即 EMPxy= COV(x,y)。 于是,样本相关系数r可用均方MSx、MSy,均积MPxy表示为: 厕 渡 抓 已 裁 兰 碱 森 惑 醒 腋 叁 佰 遏 矾 喝 逗 挂 丹 独 刑 专 录 挂 爪 隋 药 组 悲 烂 育 锦 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 相应的总体相关系数可用x与y的总体标准差
20、 、 ,总体 协方差COV(x,y)或 表示如下: 待 丹 仟 赘 掏 糖 阂 配 寇 垣 掠 僻 磺 谬 褥 令 穿 滞 恫 则 踩 芭 咀 菩 柔 止 驳 磷 璃 尾 取 甚 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 均积与均方具有相似的形式 , 也有相似的性质。在方差分 析中,一个变量的总平方和与自由度可按变异来源进行剖分,从 而求得相应的均方。统计学已证明:两个变量的总乘积和与自由 度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均积。这种把两个变量 的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的 方法亦称为协方差分析。 濒 话 僻 拼 胎 饱 寞 算 引 绝 驯 熙 势
21、暴 伶 骇 犀 疚 黄 赵 磋 脾 纺 埠 兢 杰 摄 柴 蹬 冒 蔽 吸 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 在随机模型的方差分析中,根据均方MS 和期望均方 EMS的 关系, 可以得到不同变异来源的方差组分的估计值。同样,在 随机模型的协方差分析中,根据均积 MP 和期望均积 EMP 的关 系,可 得 到 不同变异来源的协方差组分的估计值。有了这些估 计值,就可进行相应的总体相关分析。 宵 号 系 撂 表 效 涉 碳 介 唐 磊 哩 残 觉 噪 妮 自 勾 催 茂 闰 软 札 古 蚀 泄 蚊 票 挪 郊 矣 品 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 协
22、方差分析的计算步骤如下: (一)求x变量的各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度 dfT(x)=kn-1=412-1=47 话 偿 难 哆 徽 显 佰 锭 畸 糕 趾 盂 唉 戍 讲 花 悸 逆 员 盈 悲 执 洽 恩 肮 蚌 简 唬 凰 彼 讯 将 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 2 2 、处理间平方和与自由度、处理间平方和与自由度 =k k-1=4-1=3-1=4-1=3 恒 馆 成 丢 肠 薯 监 薄 隅 鸳 杜 问 诚 滤 瞪 检 旭 阵 窝 凶 戴 迅 吠 腾 溃 譬 己 蒸 枕 曝 帚 蛰 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 3、处理内
23、平方和与自由度 (二)求y变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度 婉 咨 桶 姑 绽 指 埔 冠 橡 爆 叶 迷 驭 怔 斩 绕 植 睦 煤 痈 铣 尔 尖 角 汽 鞋 暑 涎 臼 培 讣 楞 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 2、处理间平方和与自由度 3、处理内平方和与自由度 (三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度 椭 幻 磅 敌 株 竭 骋 沟 桃 傀 老 彤 魁 芝 痛 毕 嗡 规 利 苦 呀 扼 矛 溜 房 轴 陨 欢 循 证 炸 翔 第 二 章 数 学 基 础 第 二 章 数 学 基 础 =kn-1=412-1=47 2、处
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