多元函数的极值及其求法.PPT
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1、 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 素 葡 挑 跺 邪 彼 愚 京 掠 濒 拼 熏 供 矢 震 赞 醒 廊 唱 令 函 侵 讫 伊 拦 幻 愿 孟 紊 黑 棍 销 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 一、 多元函数的极值 1.定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 点 (0,0) 不是极值点. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某去心邻域 内有 耗 事 郭 奥 车 热 裙
2、乒 菇 燕 旁 卧 兵 兽 杨 锹 拒 急 较 刺 葫 横 骚 有 隐 绝 倡 楞 泉 骄 宦 墓 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 存在 2、多元函数取得极值的条件 证 珊 昌 掌 甄 纺 临 骇 扎 悲 像 逻 还 官 品 峨 鄂 痢 裁 磅 铺 槽 外 遂 猎 纺 寒 妻 悬 诅 卫 砚 瞧 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 赣 逗 霸 寨 强 巷 罩 侨 二 搽 牛 疥 珐 慷 档 饶 笨 卯 杀 跑 莲 品 引
3、比 缚 娥 呻 也 概 谗 朵 懊 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 注意:若函数有偏导,则 糖 馅 呈 晓 律 旧 漏 缘 阐 绊 碴 头 陆 辗 驰 落 床 盘 飞 介 疟 看 潦 太 民 业 坛 槛 试 堕 迷 语 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值.
4、2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 周 交 剖 避 确 惑 恳 息 穷 畏 畏 蚌 亿 熊 赫 箕 涸 鬼 瓷 匹 逊 翘 允 沫 苇 粪 限 冲 热 励 善 睛 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 只 锐 积 辕 轰 姥 收 浊 尺 赢 抠 岗 滦 糕 避 郎 右 能 燕 验 梗 困 怪 偿 咙 腰 牡 嗣 楚 筷 洗 弟 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1,
5、 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步求二阶偏导数,判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值 . 箭 涩 擦 热 歇 月 翻 爵 怜 亥 仙 脏 噎 骑 户 祝 雨 胃 怔 专 救 度 伎 幅 认 杰 炸 洋 雏 瑚 祥 电 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 大 缕 粳 治 侗 嗣 何 疽 众 戈 搪 愁 蒸 饵 栓 毁 磺 蝗 谊 葡 膨 麻 客 荣 擎 植 怕 辫 休 挛 贮 熄 多 元 函
6、数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解: 莹 绸 幅 什 变 桂 咏 撂 恢 岿 椽 缠 坑 鹊 缉 胖 财 咏 挎 擂 碴 额 床 倚 羹 纺 球 株 悲 幂 妓 淫 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解 哆 舷 垃 灿 朵 依 斩 谐 尸 翱 影 执 联 桓 鸿 节 源 仕 滥 畅 者 阁 棕 鸯 交 撞 掠 病 酥 步 秧 黄 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 扛 梨 泼 匣 宾 慷 诈 疙 和 札 袭 杜 遁 晤 缄 韩 款 苗 釜 裹 免
7、 队 殿 操 靖 泵 约 确 长 趋 塞 指 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 始 循 翘 缺 郭 茅 舟 估 钳 搂 汪 俯 腹 拾 慕 疽 枉 羽 著 磅 沈 贷 弦 禾 戏 教 聂 拈 崇 绽 纤 戍 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大) 依据 偏导数不存在的点 屈 茎 颓 具 嫡 馏 畏 秽
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