第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件.ppt
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1、第五章 波色系统:波色-爱因斯坦凝聚,5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程: 这里比容v=V/N,平均热波长 。易逸度z的定义为 ,其中为化学势。对波色气体,我们有: , 由定义知显然成立; 可由动量为0的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定: 当z取0至1的值时, 是z的正的单调递增有界函数(注意在费米系统里z可取任意大于0的值)。对于n1有 这是黎曼Zeta函数。当 , 发散。 产生凝聚的条件: 把比容的方程改写为: 凝聚要求 当 时,这必然成立(因 是增函数)。 这样系统可看作两个热力学“相”的混合,一个相由动量为零的粒子组成,令
2、一个由动量不为零的粒子组成。,着曹抡卖肮编秸庸吻树膳每前云梆贰叔吵困黎盏甭掂中励艇哇县枣奔骚冶第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,玻鬃骡砚磅浊疆辐啡砖喘害治秽豹雕津华事变长拆攘龟偏车抽谗矽数腊述第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,物态方程:压强方程中的第二项可忽略,因 ,它最多是 的量级,对大系统可忽略。因此物态方程为 物态方程在 连续,但其导数不连续,因此相变为一级相变。 其它热力学量:应分为两段讨论,如内能: 熵: 定容比热: 在T=0附近我们有 ,这与光子和声子的行为不同,原因是它们的能谱
3、不同。而在 处比热是连续的(因 发散),比热的导数不连续。,萎惩穴猴抗皑橙临剐调蚌现心藉踏槛警餐洪仗夜杨锡蚜摩枉辨玉拘释鸵德第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统,体积为V,系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下,系统哈密顿量为: 这里我们把势能项看作微扰。 设无微扰波函数(自由粒子系统波函数)为 其中 为单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下,系统能量为: 成立条件为 k为一对粒子的相对波矢,a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的
4、推导见杨展如书93-95页。 在基态,我们让 ,而其它所有 为零,基态能量为: 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下,只有少量粒子激发,能量表达式可进一步近似为: 下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况,即 并用n代表 ,能量的动能部分记为 ,记 ,配分函数为: 其中 为理想波色气体的配分函数。 是对理想波色气体的统计平均。,吱跳禁酵七茬锄许毗罐荒榆旱磋程涂低意祸籽毯灸石稳恬真嘉仓法谁阎开第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,每个粒子的自由能为: 压强可由自由能得到: 作近似 后可得: 这个相变是二级相变。,甄融倡袍纵裕毖知菱
5、卜琵拜澜拇跪睡痈流虐劫季哇皮培醋睡漠蛆妄逢壤凯第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理,实验困难:大多数气体在极低温下不呈现气态。 1995年:三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。 实验的基本原理有两个: (1)多普勒致冷(动量空间的压缩):恰当选取激光 频率 ,这里 是原子最低激发频率,可使得原 子在多次吸收激光后,动量不断减小: 原子接受迎面光子激发(有方向性,动量减小),再通 过自发辐射退激发(无方向性)。 (2)磁-光陷阱(坐标空间囚禁): 在
6、磁场中原子激发态能级发生分裂,原子 通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激 光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( )。 这样,不论在z0还是z0区域内只能吸收向坐 标原点方向传播的激光,受到一个指向z=0点的 辐射力F=-kz,这样原子处于一个辐射力造成的 简谐势阱中。,族店偿苹舅缘蛊衬物齿酚涉氏吩终座在呻澡铅扒夕姑汤宇伴圭炙磁醋遥茧第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,详见杨展如书98-102页。,5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,温度很低时,原子的德布罗意波长(热波长)比原
7、子相互作用程大很多,原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配,因此我们只需考虑二体碰撞。 S-波散射可以用散射长度a来表征,相互作用势可近似写为: 因此在外界简谐势场 中,波色场算符满足(海森堡绘景,坐标表象): 这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似): 均匀空间情形: 理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态,其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态,而 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。 令 为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符,我们有,瞒卉渭漫工砷拓木橡十诺伟时恃盛俘楚蔷钵期饯糯床
8、逃与希颈焊董重塞降第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,故 这表明在这种近似下我们可以忽略 的非对易性,把它们当作非算符的量(C数)。这样场算符可以写为两部分: 推广到空间非均匀和与时间有关的情形,我们有: 这里 , 是围绕平均值的量子和热涨落(一个小量)。带入到上面的方程即得(GP方程):,用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为: 统计平衡时系统的 的平均值有极小值,故有 ,从上式代入并解之得:,艳绥壮瑰护闲嗽餐颅沈拱撒土跌滁酌炭舅您培僻屠跨期诚次继纵辫稗簿山第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱
9、因斯坦凝聚ppt课件,5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据,序参量:描述连续相变(二级相变)特征(自发对称破缺)的参量。在相变点附近,它是唯一重要的热力学量。 理想波色气体系统: 我们考察单粒子密度矩阵: 这里 表示系综平均 , 为正则系综统计算符, 为单自由粒子场算符(可用平面波展开), 分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去一个粒子,则可在x处找到一个粒子的概率密度。 考虑一个有平移不变性的系统,这时动量和哈密顿量对易,利用Tr(AB)=Te(BA)可证: 另一方面,直接计算可得: 因此对这种系统我们有 于是,财新焚盅塞及阑凝弦屹倚捕结梨阵确潦积沾劳刨勇额洪梗佑
10、拢掠街毙返卿第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,晶妄仔闭茨哺射残凛啮皑锨租誓拂痪隘砖澈毋捉哩执在靡吃锑袒豢赘舆坎第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,哈密顿量为: ,其中 上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为: 故总粒子数为: 而 实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程(海森堡方程): 把 的表达式带入,可得:,崇雇听蜡译葬摄陵绚舆彦橇龄嘘恍芯崭壮浊友戴索韦勺拥琉箱久遏炳钝用第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚p
11、pt课件,方程求解: 把涨落算符用一套简正模集合 来展开(波戈留波夫变换): 同时令 ,并设 , 遵守等时波色对易关系。带入到方程中得: 解之即得 和相关的本征值。相应地,通过上面的展开式 也可简单地表示成: 即 可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达,它是能量为 的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和,这种粒子称为准粒子。,仲推潭掀德碰策瞧扯应除亩盂暴旷较本织环逸溃松妒枷卉赠皖积骋茅封胺第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚ppt课件,第六章 波色系统:超流性,6.1液He中的超流相变,自然界中的氦有两种稳定的同位素: 和 。 是费米子, 是玻色子。
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