专题5导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案).docx
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1、最新 料推荐专题 5导数的应用含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容,也是我们高考复习的重点从这几年来的高考试题来看,含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中,因此在高考复习中更应引起我们的重视一、思想方法:f ( x)0xAf ( x)0xCxD时f ( x)0x D时f ( x) 0x D时f ( x) 0B .f ( x)增区间为和A, B .D .f (x)增区间为 C, D和.f (x)在区间 D上为增函数f ( x)在区间 D上为减函数f (x)在区间 D上为常函数讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等
2、式问题的讨论二、典例讲解a典例 1讨论 f ( x)x的单调性,求其单调区间x解: f ( x)xa(,0)(0,)的定义域为xf ( x) 1ax 2ax2a 同号 )x 2x 2(x 0) (它与 g( x)I)当 a0时, f (x)0( x0) 恒成立,此时f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 都是单调增函数,即 f( x) 的增区间是 (,0) 和 (0,) ;II) 当 a0 时f (x)0( x0)xa或 xaf ( x) 0(x 0)ax 0或 0 xa此时 f ( x) 在 ( ,a ) 和 (a,) 都是单调增函数,f ( x) 在 ( a,0)和 ( 0,a) 都是单
3、调减函数,即 f (x) 的增区间为 (,a ) 和 (a , ) ;f (x) 的减区间为 (a,0) 和 ( 0,a ) .步骤小结: 1、先求函数的定义域,2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负),3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况,4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界),5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并变式练习1讨论 f ( x)xa ln x的单调性,求其单调区间1最新 料推荐解: f (x)f (x)1I)当 a0 时,此时 f ( x)x a ln x 的定义域为 ( 0, )ax a (x 0) (它与 g( x)x a 同号
4、 )xxf (x) 0( x 0) 恒成立,在 (0,) 为单调增函数,即 f ( x)的增区间为(0,) ,不存在减区间 ;II) 当 a 0时f (x)0( x0)xa ;f ( x) 0(x0)0 xa此时 f ( x) 在 (a,) 为单调增函数,f ( x) 在 (0, a) 是单调减函数,即 f (x) 的增区间为 (a,) ; f ( x) 的减区间为 (0,a) 典例 2讨论 f ( x) axln x 的单调性解: f ( x)ax ln x 的定义域为 (0,)1ax1(它与 g ( x)ax 1同号 )f (x) a( x 0)xxI)当 a0 时, f ( x)0(x0
5、)恒成立(此时 f ( x)0x1没有意a义)此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数,即f (x) 的增区间为 (0,)II )当 a0 时, f ( x)0( x0) 恒成立,(此时 f ( x)0x1不在定义域内,没有意义)a此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数,即f ( x) 的增区间为 (0,)III)当 a0 时 , 令 f ( x)0x1a于是,当 x 变化时, f (x),f (x) 的变化情况如下表: (结合 g(x) 图象定号 )x(0, 1 )1( 1 ,)aaaf ( x)0f ( x)增减所以,此时 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数,f (
6、 x) 在 ( 1 ,) 是单调减函数,aa2最新 料推荐即 f ( x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为(1,) aa小结:导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界,但要注意其定义域和连续性即先求出f (x) 的零点,再其分区间然后定f ( x) 在相应区间内的符号一般先讨论f ( x)0 无解情况,再讨论解 f ( x) 0 过程产生增根的情况 (即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的),即根据 f (x) 零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最好结合导函数的图象)确定相应
7、单调性变式练习 2讨论 f ( x)1 ax 2ln x 的单调性2解: f ( x)1 ax2ln x 的定义域为 (0, )2f (x)ax1ax 21 (x 0), 它与 g ( x)ax21同号 .xx令 f (x)0ax 210( x 0) ,当 a0 时,无解;当 a1a0时 , xa(另一根不在定义域内a舍去 )i) 当 a0 时, f ( x)0(x0) 恒成立(此时 f (x) 0x 21没有意义)a此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数,即f (x) 的增区间为 (0,)ii) 当 a0 时, f ( x)0(x0) 恒成立,(此时 方程 ax 210 判别式0 ,方
8、程无解 )此时 f ( x) 在 ( 0,) 为单调增函数,即f ( x) 的增区间为 (0,)iii) 当 a 0 时 ,当 x 变化时,f (x), f ( x) 的变化情况如下表:(结合 g(x) 图象定号 )x(0,1 )1(1 ,)aaaf ( x)0f ( x)增减所以,此时 f ( x) 在 (0,1 ) 为单调增函数,f ( x) 在 (1, ) 是单调减函数,aa即 f (x) 的增区间为 (0,1 ) ; f ( x) 的减区间为 (1 ,) aa3最新 料推荐小结: 一般最后要综合讨论情况,合并同类的,如i),ii)可合并为一类结果对于二次型函数(如 g ( x) ax
9、21)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论典例 3求 f ( x)a 2 x3ax 2x 1 的单调区间解: f ( x)a 2 x3ax 2x1 的定义域为 R,f ( x) 3a 2 x22ax1(3ax1)(ax 1)I)当 a0 时, f ( x)10f (x) 在 R 上单调递减, f (x) 减区间为 R,无增区间II)当 a0 时 3a 20 , f ( x) 是开口向上的二次函数,令 f ( x)0得x11 , x21 ( a 0) ,因此可知(结合f ( x) 的图象)3aai)当 a0 时, x1x2f (x)0x1 或x1 ; f ( x)01x1a3aa3a所以此
10、时, f ( x) 的增区间为 (, 1 )和 (1 ,) ; f ( x) 的减区间为 (1 ,1 )a3aa3aii)当 a0 时, x1x2f (x)0x1 或 x1 ;3aaf (x)011x3aa所以此时, f ( x) 的增区间为 (, 1 )和(1 ,) ;f (x) 的减区间为 ( 1,1 ) 3aa3aa小结: 求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间),常见的是化为二次型不等式讨论,当二次函数开口定且有两根时,一般要注意讨论两根大小(分大、小、等三种情况) 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解,若能则是计算简单的问题,需看开口及两根大小,注意结合
11、图象确定相应区间正负变式练习3 求 f ( x)1 x 31 ax 2x1 的单调区间32解: f ( x) 的定义域为 R, f ( x)x2ax1f ( x) 是开口向上的二次函数,a 24I)当02a2 时, f (x)0 恒成立所以此时f (x) 在 R 上单调递增,f ( x) 增区间为 R,无减区间II)当0a2或a2 时令 f ( x)0得 x1aa24 , x2aa 24 , x1 x2224x1 , x2 代最新 料推荐因此可知(结合f ( x) 的图象)f (x) 与 f ( x) 随 x 变化情况如下表x( , x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2 , )f(
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