(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析.docx
《(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析.docx(6页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、.基本不等式应用一基本不等式221.(1)若 a,bR ,则 a 2b22ab(2)若 a,bR ,则 abab (当且仅当 ab 时取“=”)22. (1)若*ab(2)若*aba, bR,则aba,bR,则 ab 2ab (当且仅当=2时取“ ”)*a b2当且仅当 ab 时取“ =”)(3)若 a,b(R ,则 ab23. 若 x0 ,则 x12(当且仅当 x112 ( 当且仅当 x1时取“ =”)x时取“ =”); 若 x 0 ,则 xx若 x0 ,则 x112或 x1-2 (当且仅当 ab 时取“ =”)x2即 xxx3. 若 ab0 ,则 ab2( 当且仅当 ab 时取“ =”)b
2、a若 ab0 ,则 ab2即 ab2或 ab-2( 当且仅当 ab 时取“ =”)bababa224. 若 a,bR ,则 ( ab )2ab (当且仅当 ab 时取“ =”)22注:( 1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”( 2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、 比较大小、 求变量的取值范围、 证明不等式、 解决实际问题方面有广泛的应用应用一:求最值例 1:求下列函数的值域( 1) y 3x 2 112x 2( 2) y x x解:( 1) y3x 212 23x1 6
3、值域为 6 ,+)2 22x2x11( 2)当 x 0 时, y x x 2x x 2;111当 x0 时,y x x=( xx) 2x x =2值域为(,2 2, +)解题技巧:技巧一:凑项5,求函数 y4x1的最大值。例 1:已知 x244x5解:因 4x5 0,所以首先要 “调整” 符号, 又g1不是常数, 所以对 4x2 要进行拆、 凑项,(4 x 2)54xQ x5 , 5 4x 0 ,y 4 x 215 4x513 2 3 144 x 54x当且仅当 5 4x1,即 x1时,上式等号成立,故当x1 时, ymax 1。54x评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值
4、。技巧二:凑系数.例 1.当时,求 yx(82x) 的最大值。解析:由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式, 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8为定值, 故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当,即 x2 时取等号当 x2 时, y x(82x) 的最大值为 8。评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。变式:设 0x34x(32x) 的最大值。,求函数 y232解: 0x 3 2x0 y4x(3 2x) 22x(3 2x)2 2x 3 2x9222当且仅当2x32x, 即 x30, 3时等号成
5、立。42技巧三 : 分离例 3. 求 yx27x101)的值域。(xx 1解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x 1)的项,再将其分离。当, 即时 , y2 ( x 1)4时取“”号)。5 9 (当且仅当 x 1x1技巧四 :换元解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分离求最值。y(t2)= t25t4t451)7(t 1 +10ttt当, 即 t=时 , y2t459 (当 t=2 即 x 1时取“”号)。t评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ymg( x)AB( A0
6、, B0) ,g( x) 恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。g(x)技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f ( x)xa的单调性。x例:求函数 yx25的值域。x24解:令x24 t (t2) ,则 yx25x241t12)x24x2( t4t因 t0,t11,但 t11 不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。tt解得 t因为 yt1在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y5t。2.所以,所求函数的值域为5。,2练习求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 .( 1) yx23x 1,( x0)(2) y2x1, x3
7、(3)y2sin x1, x(0,)xx3sin x2已知 0x1,求函数 yx(1x) 的最大值 .;3 0x2yx(23x) 的最大值 .,求函数3条件求最值1. 若实数满足 ab 2 ,则 3a3b 的最小值是.分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a 3b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解: 3a 和3b 都是正数, 3a3b 23a3b23a b6当 3a3b 时等号成立,由 ab2 及 3a3b 得 ab1即当 ab1时, 3a3b 的最小值是 6变式:若 log 4xlog 4 y 2 ,求11x的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基本 不等式 应用 利用 求最值 技巧 题型 分析
链接地址:https://www.31doc.com/p-6198234.html