专升本资料8.docx
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1、专升本资料 8-作者 : _-日期 : _四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲(理工类)总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论;掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了
2、解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时: 120 分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数微积分学六 无穷级数七 微分方程八 线性代数(一)行列式1. 理解行列式的概念,掌握 行列式的性质 。(1)行列式的概念 二阶行列式:a11a12a11a22a12a21a21a22a11a12a13 三阶行列式:D 3a21a22a23 ,a31a23a33a11a12a1na21a22a2 n n 阶行列式: Dnan1an 2annn 阶行列式的值的特点:( 1)一共是有 n!
3、项的代数和;( 2)每一项都是 n 个元素的乘积,它们来自于不同的行、不同的列。(3)这 n! 项中有一半是正项,另一半是负项。(2)行列式的性质变换性质 转置变换: D TDD T 为 D 的转置行列式。 交换变换: D1D , D1 为 D 互换两行(列)后所得。rir j , cic j 倍乘变换: D1k D , D1 为 D 的某行(列)元素都乘以k 后所得。 k ri , k ci 倍乘变换: D1D , D1 为 D 的某行(列)乘以k 加到另外的行(列)后所得。r jk ri , cjk ci零值性质 如果行列式的某行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零 如果行列式的某两行(
4、列)的元素相同,则此行列式的值为零 如果行列式的某两行(列)对应元素成比例,则此行列式的值为零2.会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。(1)行列式的余子式和代数余子式余子式 M i j :划去 ai j 所在的第 i 行和第 j 列的全部元素后剩下的元素组成的 n 1阶行列式。代数余子式: Ai j( 1)i j M i j(2)阶行列式按行(列)的展开nnD nai 1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ainai k Ai 1ai k ( 1) i k M i k 或k1k 1nnD na1 j Ai1 ja2 j A 2 janj An jak j Ak jak j (
5、1)k j M j kk 1k 1(3) 行列式的计算方法 先利用行列式的性质使行列式的某一行(列)的元素尽可能多的化为零,再按该行(列)展开。 可将行列式化为特殊行列式后计算特别是化为三角形行列式。例 1计算下列的行列式25122310a b b b3 71 44211b a b b9; 2121; 52 7b b a b46120110b b b a(二)矩阵1. 理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。(1)矩阵的定义a11a12a1 n由 mn 个数 aij (i1,2, , m; j 1,2, n) 排成的 m 行 n 列的数表a 21a
6、22a 2 n 叫a m1a m 2a mn矩阵;记为 Am n ,或 A(aij ) m n 当 mn 时,矩阵 A 称为 n 阶方阵 . 记作 An 当 m1时,矩阵 A 称为行矩阵 ( 或行向量 ) . 记为 A(aij )1 n =a1 , a2 ,ana1当 n1时,矩阵 A 称为列矩阵 ( 或列向量 ) . 记为 A=a2或A (aij ) m 1 .an(2)特殊矩阵零矩阵: 矩阵的元素都为 0 时。单位矩阵: 主对角线都为 1的对角矩阵。记为En 或 E .对角矩阵 ( 或对角阵):在 n 阶方阵中 ,主对角线以外的元素都为零的矩阵。上三角矩阵:在 n 阶方阵中 ,主对角线以下
7、的元素都为零。下三角矩阵:在 n 阶方阵中 ,主对角线以上的元素都为零。对称矩阵: ai ja j i或 ATA反对称矩阵: ai ja j i或 ATA2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。(1)矩阵的线性运算设 A ( aij ) m n , B (bij ) m n矩阵的和: AB( aijbij) m n矩阵的差: AB(aijbij)m n数乘矩阵 : kA(kaij ) m n(2)矩阵的乘法 定义设 A (ai j ) m k , B(bij ) k n, 令 C(ci j ) m n 是由下面 mn 个元素b1 jci j (ai 1 , ai
8、 2 , , ai k )b2 jai 1b1 jai 2b2 jai k bk jbk j构成的 m 行 n 列的矩阵。 称矩阵 C(cij )m n 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积。 记为: C AB 运算律( a)结合律: ( AB )C A(BC )(b)分配律: ( AB)C AC BC , A ( BC )ACABC(c)01 律: AE nEn A A , AOn On A O(d)不具备交换律:ABBA ,(e)两非 0 矩阵的乘积可能是0 矩阵。即 AB0不能推出: A0 或 B0 。 矩阵的乘方设 A 为 n 阶方阵,称矩阵 A 自乘 m 次称为矩阵 A 的 m 次方。A0
9、E , A1A , A2AAAmAAA ( m 个 A )Ak AlAk l ,( Ak )lAk l ,(3)矩阵的转置定义:把 A 的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵A 的转置矩阵。记为AT 。转置矩阵的性质: ( AT ) TA( A B) TATBT(kA)TkAT( AB )TBT AT(4)方阵的行列式定义:由 n 阶方阵 A 的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵 A 的行列式。记为 | A |或det( A) 。矩阵行式的性质 | AT | | A | ; | kA |k n | A | ; | AB | | BA | | A | | B |10110例 1 已知: A 210 ,
10、 B31; 求 AB 。321023. 理解逆矩阵的概念,掌握矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。(1)逆矩阵的定义设 A 是 n 阶方阵,如果存在一个 n 阶方阵 B , 使得 ABBAE ;则称矩阵 A 是可逆的,称矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵 。 A 的逆矩阵记为 A 1 ,即 BA 1 (2)逆矩阵的性质方阵 A 可逆A 的逆矩阵是唯一的。且 AA 1A 1 AE A 可逆A 1 也可逆。且 ( A 1 ) 1A A 可逆 , 数0A 可逆且 ( A) 1 1A 1 A 可逆AT也可逆,且 ( AT ) 1( A 1 ) T A 可逆 , 则有
11、| A 1 | | A | 1 A、 B 为同阶方阵且均可逆AB 可逆且 ( AB ) 1B 1 A 1 ( A A2A ) 1A1A1 A 11mm21(3)矩阵可逆性质的判别A 可逆| A | 0(4)求矩阵的逆矩阵的公式 伴随矩阵:n 阶方阵 A 的行列式 | A |的各个元素的代数余子式Aij 构成矩阵A11A21A1 nA12A22A2 nA*称为矩阵 A 的伴随矩阵A1nA2 nAnn 求矩阵的逆矩阵的公式若矩阵 A 可逆,则 A1A( A* 为 A 的伴随矩阵 ) | A |123例 1 判断 A. 321是否可逆,如果可逆,求逆矩阵1014. 掌握矩阵的 初等变换 ,了解矩阵秩
12、的概念,掌握 用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。(1)矩阵的初等变换定义:矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行(列)变换。 对换变换: 互换矩阵的 i、 j 两行(列)。rir j ( cic j ) 倍乘变换: 把 i 行(列)的各元素都乘以非零k 常数。rik( cik ) 倍加变换: 把 j 行(列)的若干倍,加到i 行(列)上。rikr j ( cikc j )矩阵 A 经过有限次初等行变换转化为矩阵B ,则称矩阵 A 与矩阵 B 等价,记为 A B .(2)矩阵的秩 矩阵的 k 阶子式在一个 mn 的矩阵 A 中任意取 k 行和 k 列,位于这些行与列相交位置上的元素所构成的一个 k
13、 阶行列式称为矩阵A 的 k 阶子式。矩阵 Am n 的 k 阶子式共有 Cmk ? C nk 个。 矩阵的秩的定义在 mn 的矩阵 A 中,一切非零子式的最高阶数r 称为矩阵 A 的秩。也就是说,若矩阵A中至少有一个r 阶子式不等于零,而所有的r+1 阶子式(如果有的话)都等于零,则称矩阵A的秩为 r, 记为 R( A)r .注意:R( A)min( m,n) 。零矩阵的秩为零;非零矩阵的秩一定不为零。(3)矩阵的秩的求法阶梯形矩阵及其秩矩阵 A 若满足:( 1)零行(元素全为0 的行)在矩阵的最下方;(2)各非零行的第 1个非零元素的列标随着行标的递增而严格增大。满足这样的条件的矩阵称为阶
14、梯形矩阵 。阶梯形矩阵的秩为:非全零行的行数。2103203125如矩阵004有三个非全零行,则它的秩为 3。0300000矩阵的初等变换不改变矩阵的秩方法:先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵,再观察非全零行的行数,其行数即为矩阵的秩。(3)逆矩阵的求法: ( A , En )(En , A 1 )将矩阵 ( A , En ) 经过一系列的初等变换,将前面的部分变成为单位矩阵后,其后面的部份就变成了 A 的逆矩阵。113例: 求矩阵 A214的逆矩阵。124(三)向量1. 理解 n 维向量的概念,向量的线性组合与线性表示。(1)n 维向量的定义n 个数 a1, a2 , an 组成的有
15、序数组(a1 , a2 ,an ) 称为 n 维向量 。数 ai 称为 n 维向量的第 i 个分量 。向量中的个数称为向量的维数。向量一般用小写黑体的希腊字母,表示。行向量:把向量写成一行;可看成一行 n 列的矩阵。列向量:把向量写成一列;可看成 n 行一列的矩阵。(2)n 维向量的运算两向量相等 :两向量的各分量对应相等。向量的加法 :两向量的各分量对应相加。向量的减法 :两向量的各分量对应相减。数乘向量 : 将数 k 乘以向量的各分量。例设( 2 , 1 , 3) ,( 2 , 3 , 6 ) ,(2 ,1 , 4) ,求向量 23。(3)n 维向量的线性组合给定向量组A : 1,2 ,,
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