双曲线及其标准方程(一)xj4.docx
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1、双曲线及其标准方程(一)(人教版数学高二上册 )湖南师大附中肖 婕一、教学目标(一)认知目标1、使学生理解并掌握双曲线的定义(第一定义);2、使学生理解并会推导双曲线的标准方程;3、使学生能根据条件求简单的双曲线的标准方程.(二)能力目标1、渗透类比的思想方法,培养学生观察、发现、类比、归纳、概括、推理等能力;2、培养学生全面、系统、辩证地分析问题的能力,培养学生数形结合的思想。(三)情感目标1、通过对双曲线的初步认识,让学生感知几何图形的曲线美、简洁美、对称美,培养学生学习数学的兴趣;2、在教学中让学生体验数学活动中的探索性与创造性,感受数学的严谨性及数学规律的准确性,培养学生勇于探索、勤于
2、思考的精神.二、教材分析1、教学重点双曲线定义(第一定义),按照给出的条件求简单的双曲线的标准方程.2、教学难点双曲线定义(第一定义)的理解及其应用;双曲线的标准方程的推导.三、教学过程(一)复习提问椭圆的定义是什么?(学生回答,教师演示)平面内与两定点F1、 F 2 的距离的和等于常数(大于 | F1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆(二)新课引入平面内与两定点F1、 F2 的距离的 和等于常数 (大于 | F1 F2 |)的点的轨迹叫做椭圆那么平面内与两定点 F 1、 F 2 的距离的 差等于常数的点的轨迹又将是怎样的图形呢?1(三)实验操作老师带领学生利用几何画板进行实验探究:平面内与两定点F
3、1、F2 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹将是什么图形?对常数大于|F 1F 2|、等于 |F1F2|和小于 |F1F 2|三种情形下的动点的轨迹进行探究。(四)双曲线的定义在探究的基础上介绍日常生活中双曲线的广泛应用。(展示图片)并由此引出课题,并请学生对照椭圆定义给双曲线下定义.1、双曲线的定义:平面内与两个定点F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2、定义讲解:( 1)没有绝对值符号只表示双曲线的一支;( 2)0常数 | F1F2 |;若常数 =| F 1F2|,点 M 的轨迹是以
4、F 1、F 2 为端点的两条射线; 若常数 | F1F 2|,点 M 的轨迹不存在 .当常数 =0 时,轨迹为F 1F2 中垂线 .(五)双曲线标准方程的探究现在来研究双曲线的方程我们可以用类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程1、标准方程的推导:( 1)建系设点建立直角坐标系xOy,使取过焦点F 1、 F 2 的直线为 x 轴,线段F1 F2 的垂直平分线为y 轴 (如图 3)建立(图 3)直角坐标系双曲线的焦距为2c(c 0),那么,焦点F1、 F2 的坐标分别是(-c, 0)、 (c, 0)又设点M 与 F1、 F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a设 M(x , y)为双曲线上任意一
5、点。( 2)找等量关系由定义可知,双曲线就是集合:P=M|M F 1|-|M F 2|=2a=M|M F 1|-|M F 2|= 2a( 3)列方程 | MF 1 |( x c) 2y 2 ,| MF 2 |(x c) 2y 2 ( x c)2y 2(x c)2y 22a.2这就是双曲线的方程,不过它是无理方程,形式比较复杂。( 4)化简方程以前遇到过两个根式的问题吗?如何处理?一般处理方法是将一个根式移到方程的另一边再两边平方。让学生仿照椭圆方程的推导自己动手实践:移项得,( xc) 2y2(x c)2y22a.两边同平方得:( x c)2y 24a 24a ( x c) 2y 2( x c
6、) 2y2 .x22cx c2y24a24a ( xc)2y2x22cx c2y 2.2cx4a24a( x c) 2y22cx.移项得,4cx4a24a ( xc)2y2 .整理得,cxa2a( xc) 2y2 .( cxa2 ) 2a222 .两边再平方得,x cyc2 x22a2cx a4a2 x22a2 cx a 2c2a2 y2c2 x2a2 x2a2 y2a2c2a4(c2a 2 )x 2a2 y 2a 2 (c2a 2 )由双曲线定义,2c 2a22即 c a 0,所以 c-a 0设 c2 a2=b2(b 0),代入上式得:b2x2 a2y2=a2b2两边除以a2b2,得x 2y
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