最值问题.doc
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1、第34讲 最值问题内容概述均值不等式,即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小各种求最大值或最小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量,如较高数位上的数值,有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的典型问题2有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】 方法一:设这4袋为A、B、C、D,为使4袋糖块的总和最少,则每袋糖应尽量平均,有A、B、C袋糖有20、20、21块糖则当A、B、D三袋糖在一起时,为了满足条件,D袋糖不少于21块,验证A、B、C、D这4袋糖依次有20,20,2l,2l时满足条件,且总和最少这4袋糖的总和为20+20+21+21=
2、82块方法二:设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖,有,+得:3(a+b+c+d)244,所以a+b+c+d81,因为a+b+c+d均是整数,所以a+b+c+d的和最小是82评注:不能把不等式列为,如果这样将+得到3(a+b+c+d)240,a+b+c+d80,因为a、b、c、d均是整数,所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况如何避免,希望大家自己解决.4用1,3,5,7,9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用O,2,4,6,8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ求算式ABCDE-FGHIJ的计算结果的最大值【分析与解】 为了使ABCDE-FGHIJ
3、尽可能的大,ABCDE尽可能的大,FGHIJ尽可能的小则ABCDE最大时,两位数和三位数的最高位都最大,所以为7、9,然后为3、5,最后三位数的个位为1,并且还需这两个数尽可能的接近,所以这两个数为751,93则FGHIJ最小时,最高位应尽可能的小,并且两个数的差要尽可能的大,应为46820所以ABCDE-FGHIJ的最大值为75193-46820=60483评注:类似的还可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值为64082-37915=46795 6将6,7,8,9,10按任意次序写在一圆周上,每相邻两数相乘,并将所得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少? 【分析与解】 我们从对结果影响最
4、大的数上人手,然后考虑次大的,所以我们首先考虑10,为了让和数最小,10两边的数必须为6和7 然后考虑9,9显然只能放到图中的位置,最后是8,8的位置有两个位置可放,而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小,所以我们两种情况都计算 87+710+106+69+98=312; 97+710+106+68+89=313所以,最小值为3128一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少? 【分析与解】设这个两位数为=lOa+b,它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a,所以lOa+b9a(mod a+b),设最大的余数为k,有9ak(mod a+b)特殊的当a+b为18时,有9a=
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