小学奥数知识总结手册.doc
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1、和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系公式(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数不定方程一次不定方程:含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程;常规方法:观察法、试验法、枚举法;多元不定方程:含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯一;多元不定方程解法:根
2、据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,按照二元一次不定方程解即可;涉及知识点:列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤:1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;技巧总结:A、写出表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数,同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧:消掉范围大的未知数;抽屉原理抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:4=4+0+0
3、 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中nm,那么必有一个抽屉至少有:k=n/m +1个物体:当n不能被m整除时。k=n/m个物体:当n能被m整除时。理解知识点:X表示不超过X的最大整数。例4.351=4;0.321=0;2.9999=2; 关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。定义新运算基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。基本思
4、路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。注意事项:新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。二进制及其应用十进制:用09十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意:N0=;N=N(其中N
5、是任意自然数)二进制:用01两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意:An不是0就是1。十进制化成二进制:根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。分数大小的比较基本方法:通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法:使
6、所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。分
7、数与百分数的应用基本概念与性质:分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法:逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思
8、维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。工程问题基本公式:工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量
9、工作时间工作时间=工作总量工作效率基本思路:假设工作总量为“1”(和总工作量无关);假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评:合久必分,分久必合。归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;鸡兔同笼问题基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;基本思路: 假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲
10、一样): 假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。基本公式: 把所有鸡假设成兔子:鸡数(兔脚数总头数总脚数)(兔脚数鸡脚数) 把所有兔子假设成鸡:兔数(总脚数一鸡脚数总头数)(兔脚数一鸡脚数)关键问题:找出总量的差与单位量的差。几何面积基本思路:在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法:1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相
11、等。3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。4. 利用特殊规律等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。加法乘法原理和几何计数加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题:确定工作的分类方法。基本特征:每一种方法都可完成任务。乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1
12、步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1m2. mn种不同的方法。关键问题:确定工作的完成步骤。基本特征:每一步只能完成任务的一部分。直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。直线特点:没有端点,没有长度。线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点:有两个端点,有长度。射线:把直线的一端无限延长。射线特点:只有一个端点;没有长度。数线段规律:总数1+2+3+(点数一1);数角规律=1+2+3+(射线数一1);数长方形规律:个数=长的线段数宽的线段数:数长方形规律:个数=1
13、1+22+33+行数列数简单方程代数式:用运算符号(加减乘除)连接起来的字母或者数字。方程:含有未知数的等式叫方程。列方程:把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题:用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质:等式两边同时加上或减去一个数,等式不变;等式两边同时乘以或除以一个数(除0),等式不变。移项:把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边;移项规则:先移加减,后变乘除;先去大括号,再去中括号,最后去小括号。加去括号规则:在只有加减运算的算式里,如果括号前面是“+”号,则添、去括号,括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“”号,添、去括号,括号里面的运算符号都要改变;括
14、号里面的数前没有“+”或“”的,都按有“+”处理。移项关键问题:运用等式的性质,移项规则,加、去括号规则。乘法分配率:a(b+c)=ab+ac解方程步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;求解;方程组:几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤:消元;按一元一次方程步骤。消元的方法:加减消元;代入消元。经济问题利润的百分数=(卖价-成本)成本100%;卖价=成本(1+利润的百分数);成本=卖价(1+利润的百分数);商品的定价按照期望的利润来确定;定价=成本(1+期望利润的百分数);本金:储蓄的金额;利率:利息和本金的比;利息=本金利率期数;含税价格=不含税价格(1+增值税税率);六年级奥数
15、上册:第六讲 立体图形的计算逻辑推理基本方法简介:条件分析假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。条件分析列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有
16、连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。年龄问题的三个基本特征:两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;两个人的年龄的倍数是发生变化的;牛吃草问题基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定
17、草的生长速度和总草量。基本特点:原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题:确定两个不变的量。基本公式:生长量=(较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数)(长时间-短时间);总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量;浓度与配比经验总结:在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质:溶解在其它物质里的物质(例如糖、盐、酒精等)叫溶质。溶剂:溶解其它物质的物质(例如水、汽油等)叫溶剂。溶液:溶质和溶剂混合成的液体(例如盐水、糖水等)叫溶液。基本公式:溶液重量=溶质重量+溶剂重量;溶质重量=溶液重量浓度;理论部分小练习:试推出溶质、溶液、溶剂三者
18、的其它公式。经验总结:在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。例题1。有含糖量为7的糖水600克,要使其含糖量加大到10,需要再加入多少克糖? 【思路导航】根据题意,在7的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水的质量并没有改变。因此,可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量,再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量,用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 原来糖水中水的质量:600(17)558(克) 现在糖水的质量 :558(110)620(克) 加入糖的质量 :62060020(克) 答:需要
19、加入20克糖。 例题2。一种35的新农药,如稀释到1.75时,治虫最有效。用多少千克浓度为35的农药加多少千克水,才能配成1.75的农药800千克? 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中,溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800千克1.75的农药含纯农药的质量为 8001.7514(千克) 含14千克纯农药的35的农药质量为 143540(千克) 由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为 80040760(千克) 答:用40千克的浓度为35的农药中添加760千克水,才能配成浓度为1.75的农药800千克。 例题3。现有浓度为10
20、的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30的盐水,可以得到浓度为22的盐水? 【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了,但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以,混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。 20千克10的盐水中含盐的质量 20102(千克) 混合成22时,20千克溶液中含盐的质量 2022404(千克) 需加30盐水溶液的质量 (4.42)(3022)30(千克) 答:需加入30千克浓度为30的盐水,可以得到浓度为22的盐水。 例题4。将20的盐水与5的盐水混合,配成15的盐水600克,需要20的盐水和5的盐水各多少克? 【思路导航】根据题意,将20
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