空间向量的数量积运算.docx
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1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标1. 掌握空间向量夹角概念及表示方法.2. 掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律 .3. 掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直 .知识点一空间向量数量积的概念思考 1如图所示,在空间四边形OABC中, OA 8, AB 6,AC 4, BC 5, OAC45,OAB60,类比平面向量有关运算,如何求向量 OA与 BC的数量积?并总结求两个向量数量积的方法 .答案 BC AC AB, OA BC OA AC OAAB| OA| AC|cos OA, AC| OA|AB|cosOA, AB84cos 13
2、5 86cos 120 24 162.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时, 可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计算.思考 2等边中, 与的夹角是多少?ABCABBC答案120.梳理(1) 定义:已知两个非零向量a,b,则 |a|b|cos , 叫做a,b的数量积,记作abab.(2) 数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律( a) b ( a b)交换律a bb a分配律a(b c) a b ac(3) 空间向量的夹角1定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 OA a,OB b,则 AOB叫做向量a,b 的夹角,记作 a, b .
3、范围:a, b 0 , . 特别地:当 a, b时, ab.知识点二空间向量的数量积的性质若 a, b 是非零向量,则a b? a b 0若a与b同向,则a |a| | | ;若反向,则abbb| a| |b|.两个向量数量积的性质特别地, aa | a|2 或 | a| a a若 为 a, b 的夹角,则 cos |a ba|b|a b| |a| |b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例 1(1) 下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明. p2 q2 ( pq) 2;|p q| |p q| | p2q2| ;若 a 与 ( ab) c ( a c)
4、b 均不为 0,则它们垂直 .解此命题不正确.p2 q2 | p| 2|q| 2,而 ( p q) 2 (| p| |q| cos p,q ) 2 | p| 2|q| 2cos 2 p,q,当且仅当 p q 时, p2q2 ( p q) 2.此命题不正确.22|p q | |( p q) (p q)| | pq| |pq| |cos p q, pq | ,当且仅当 ( p q) (p q) 时, | p2 q2| | pq| |p q|.此命题正确 .a(ab) c ( ac) b a(a b) c a(a c) b ( a b)( a c) ( )(a) 0,a bc且 a 与 ( ab)
5、c ( ac) b 均为非零向量, a 与 ( a b) c ( ac) b 垂直 .(2) 设 a, b 120, | a| 3, | b| 4,求:2a b; (3 a 2b) (a 2b).解 a b | a| b|cos a,b, a b34cos 120 6. (3 a 2b) (a 2b) 3| a| 2 4a b 4| b| 23| a| 2 4| a| b|cos 120 4| b| 2,1 (3 a 2b) (a 2b) 39434( 2) 416 27 24 64 61.反思与感悟(1) 已知 a, b 的模及 a 与 b 的夹角,直接代入数量积的公式计算.(2) 如果欲求
6、的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用 a a | a| 2 及数量积公式进行计算 .跟踪训练1已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么 | a3b| 等于 ()A.7 B.10 C.13 D.4答案C解析|a 3b| 2 ( a 3b) 2 a2 6a b 9b2 1 6cos 60 9 13,|a 3b| 13.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例 2 已知长方体 1 11 1 中,1 2,4,E为侧面1 的中心,F为1 1 的ABCD AB C DABAAADABAD中点 . 试计算: (1) BC ED;(
7、2)BF AB; (3)EF FC.111解 如图,设 , ,1,ABaAD bAAc则| a| | c| 2, | b| 4, a bb c ca 0.(1)122 16.BC ED1b ( ca) b | b| 42 112222(2)c a b ( c)|c| a|220.BF AB2a(3) 11111( ) 11|21| 2 2.b b a bcb a abEF FC2 c a 222a224反思与感悟两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量. 零向量与任意向量的数量积为 0. 向量的数量积不满足结合律 .跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求: ;(1)( OA OB
8、)(CA CB)(2)| OA OB OC|.解(1)() () ( 2)( ) ( ) ( OA OBCA CBOA OBOA OC OB OCOA OBOA OB OC322211cos 60 1 11cos 60 211cos 60 11cos 60 11.(2)| 2OA OBOC| OA OB OC 22 2 OA OB OC 2OAOB OB OC OA OC12 12 122 11cos 60 3 6.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1 利用数量积求夹角例 3已知 BB1平面 ABC,且 ABC是 B90的等腰直角三角形,?ABB1A1、 ?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且
9、相等,若,求异面直线1 与所成的角 .AB aBAAC解 如图所示 . BA1 BA BB1,AC AB BC, BA1 AC ( BA BB1) (AB BC)BA AB BA BC BB1AB BB1 BC.AB BC,BB1 AB, BB1 BC, 0, 1 0,1 0 且 a2.ABBCBBABBBBCBAAB2BA1 AC a .又BA1 AC | BA1| |AC|cos BA1,AC, a21cos BA1, AC2a2a 2.又 BA,AC 0 , 180 , BA, AC 120,11又异面直线所成的角是锐角或直角,异面直线BA1 与 AC所成的角为60.反思与感悟利用向量求
10、异面直线夹角的方法4跟踪训练 3 已知:、分别是平面 的垂线、斜线,是PA在平面 内的射影,PO PAAOl ? ,且 l OA.求证: l PA.证明 如图,取直线l的方向向量,同时取向量 , .aPOOA因为 l OA,所以 aOA 0.因为 PO ,且 l ? ,所以 l PO,0.因此 a PO又因为a 0, ( ) PA a PO OAaPO aOA所以 l PA.命题角度 2利用数量积求模 ( 或距离 )例 4如图所示,在平行六面体 11 1 1 中, 1, 2,1 3,90,ABCD A B CDABADAABADBAA DAA60,求 AC的长 .111解 ,因为 AC1 AB
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