分析力学第六章.ppt
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1、拉格朗日形式: 1.力学系统的描述:,第六章 低速宏观运动规律的正则形式,运动规律的表述形式:牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式,3.优点:消除约束 场论 缺点:方程中 地位不平等,2.拉格朗日方程:,哈密顿形式: 1.力学系统的描述:,2.哈密顿方程(正则方程):,3.优点:方程对称优美 量子力学 缺点:2s个方程(多一倍),一、勒让德变换,由已知函数 f = f (x,y), 可得其全微分:,两式相减:,又因为,1.6.1 哈密顿方程,二、哈密顿函数,由拉格朗日方程和广义动量的定义,哈密顿函数(拉格朗日函数)可以完全决定系统的运动,哈密顿函数的取值对应于系统的能量E。,三、哈密顿方程,哈密
2、顿方程 (正则方程),广义坐标和广义动量 随时间的变化,优缺点: 1哈密顿方程:2s个一阶微分方程, 拉格朗日方程:s个二阶微分方程简化数学计算; 2哈密顿方程中, 地位平等相互共轭的正 则变量; 3哈密顿函数有利于从经典力学向量子力学过渡。,四、最小作用量原理(变分原理)导出哈密顿方程,分步积分, 初值条件,哈密顿方程,逐项说明什么是函数的变分,由广义坐标 形成的空间叫位形(坐标)空间; 由 形成的空间叫相空间:3s维坐标空间和3s个动量空间 一起形成的一个6s维欧氏空间。,五、相空间,相空间的每一个点 对应于质点在这一时刻的坐标 和动量 可以完全决定质点在这一时刻的运动。,质点在相空间中的
3、代表点随时间t的变化所描出的 曲线称为质点的相轨迹。 对于周期运动,相轨迹是闭合曲线。,力学量用 来表示的例子: 1.一维线性谐振子: 2. 粒子的能量、角动量,1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket),一、力学量对时间的导数,对于任意力学量f = f (p,q,t),哈密顿方程,定义泊松括号,说明: 1运用泊松括号可简洁地表示任一力学量随时间的变化, (回答了比正则方程更广泛的问题)。 2泊松括号形式很容易过渡到量子力学(对易关系)。 参见曾谨言量子力学下册p464-p466,或教材p464:,二、用泊松括号表示出的运动方程,用泊松括号表示运动方程(正则方程),(1)
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