马尔可夫链数学建模PPT精选文档.ppt
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1、.,1,马尔可夫链建模法,马尔可夫链基本理论和结论 服务网点的设置问题 常染色体遗传模型 常染体隐性疾病模型,.,2,马尔可夫链的应用,预备知识:马尔可夫链,随机过程:设 是一族随机变量,T是一个实数集合, 若对任意的 实数 , 是一个随机变量,则称 为随机过程。,.,3,例一 在一条生产线上检验产品质量,每次取一个,废品记为1 合格品记为0。以 表示第n次检验结果,则 是一个随机 变量. 不断检验,得到一系列随机变量, 记为 它是一个 随机序列,其状态空间为E=0,1,例二:在m个商店联营出租相机业务中(顾客从其中一个商店租出 可以到m个商店中的任意一个归还)规定一天为一个时间单位 表示第t
2、天开始时照相机在第j个商店,j=1,2,.m. 则 是一个随机序列,其状态空间为,.,4,例3:,某商店每月考察一次经营情况,其结果用销路好或坏这 两种状况中的一种表示。已知若果本月销路好,下月任 保只这种状况的概率为0.5;如果本月销路坏,下月转变 为销路好的概率为0.4,试分析假若开始时商店处于销路 好的状态,过若干月后能保持销路好的概率有多大?如果 开始是处于销路坏呢?,E=1,2,.m,n=0,1,2,.,称为这个经营系统的状态,.,5,称为无后效性,由此,更椐全概率公式容易得到,.,6,如表所示,由数字变化规律可以看出,开始销路好时状态概率的变化,n,0 1 2 3 ,1 0.5 0
3、.45 0.445,4/9,0 0.5 0.55 0.555,5/9,.,7,表2 开始销路坏时的状态概率的变化,0 1 2 3 ,n,0 0.4 0.44 0.444 4/9,1 0.6 0.56 0.556 5/9,马尔可夫链的定义:,设,是一个随机序列,状态空间E为有限或可列,对于任意的正整数m,n,若i,j, 有,则称,为一个,马尔可夫链,.,8,马氏链及其基本方程,由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程,.,9,.,10,马氏链至少包括一个吸收状态,并且从每一个非吸收状 态出发,能以正的概率经有限次转移达到某个吸收状态 则称此马氏链为吸收链。,定理2:正则链存在唯一
4、的极限状态概率,.,11,引入状态概率向量和转移概率矩阵,(7),则基本方程(3)可表为,(8),(9),.,12,因此对于马氏链模型最基本的问题是:构造状态xn及写出转移矩阵p,一旦有了P,则给定初始状态a(0)就可以用(9)或(8)计算任意时间n的状态概率a(n),定义1:一个有k个状态的马氏链,如果存在正整数N,使从任意 状态i经N次转移,都以大于0的概率达到状态j(I,j=1,2,k) 称此马氏链为正则链。,正则链。,.,13,马尔可夫链的应用,模型六:服务网点的设置问题,为适应日益扩大的旅游事业的需要,某城市的甲乙丙三个 照相馆组成一个联营部,联合经营出租相机的业务。游客 可由甲乙丙
5、三处任一处租出相机,用完后,还到三处中的 任一处即可。估计其转移概率为:,租 相 机 处,甲,乙 丙,还 相 机 处,甲,乙,丙,0.2 0.8 0 0.8 0 0.2 0.1 0.3 0.6,.,14,今欲选择其中之一附设相机维修点,请你设计一种方案。,模型分析,由于旅客还相机的情况只与该次租机地点有关,而与相机 以前所处的点址无关。,.,15,由(10)有,设极限概率为W,即:,.,16,解上列方程组可得:,由计算看出,经过长期经营后,该联营部的每架照相机 还到甲乙丙照相馆的概率为17/41,16/41,8/41。由于还到甲的照相机的概率最大,因此维修点设在甲馆较好。,模型推广:生物基因遗
6、传等方面的应用。,.,17,4.3 马氏链模型,随着人类的进化,为了揭示生命的奥秘,人们越来越注重遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,已引起人们广泛的注意。无论是人,还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等,并讨论几个简单而又有趣的实例。 马氏链(马尔柯夫链)研究的是一类重要的随机过程,研究对象的状 态s(t)是不确定的,它可能 取K种 状态si(i=1,k)之一,有时甚至可取无穷多种状态。在建模时,时间变量也被离散化,我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象
7、取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律,故马氏链研究的也是一类状态转移问题。,.,18,例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示,.,19,.,20,相应的转移矩阵 为:,且Sj+1=SjM,首先,任一转移矩阵的行向量均为概率向量,即有 (1) (I , j=1,n) (2) (i=1,n) 这样的矩阵被称为 随机矩阵。,.,21,常染色体遗传模型,下面给出双亲体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率,如 表所示。,双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂,这些我们仅研究一个较简单的特例 。,.,22,(a)假设:令n=0,1,2,。 (i)设an,bn和cn分别表示第n代植物中,
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